Resolver la ecuación cuadrática incómoda para obtener una solución "agradable".

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación cuadrática para obtener una solución analítica "agradable" para$\rho$.

$\rho^2(r\sin\theta-2nr^2)+\rho(2nr^3-2r^2\sin\theta-2\sin\theta+2nr)-2nr^2+3r\sin\theta=0$

donde$r=1-\cos\theta$ (no puedo ver cómo se podría usar esto para simplificar la ecuación cuadrática).

Espero que la solución que se encuentre sea de forma simple, ya que se correspondería con el problema más grande en el que estoy trabajando.

También $\theta=\pi/n$

EDITAR: Espero que la solución$\displaystyle \rho=1-\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{n}$ sea una de las soluciones a la cuadrática.

Answer 1

No creo que sea tan fácil de resolver, sería posible si tuviéramos la expresión que lleva a este que es relativamente simple y se puede conseguir que simple y cerrada de expresión,de todos Modos si usted está pidiendo una solución:

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Problemas en wolfram alpha en aquí tengo las siguientes dos raíces:

Vamos $$\cos(\lambda\pi/n)=c_{\lambda}$$ And similiarly $$\sin(\lambda\pi/n)=s_{\lambda}$$ Ahora vamos a $$\color{red}{S_Q}=62n^2-106n^2c_1+72n^2c_2-37n^2c_3\\+10n^2c_4-n^2c_5-36ns_1+32ns_2-38ns_3\\+16ns_4-2ns_5+6c_1+9c_3+c_5+22$$ Y $$\color{red}{D_N}=-12ns_1+4ns_3+c_1-c_3$$ Y $$\color{red}{R_D}=-14ns_1+5ns_3-ns_5+6c_1-3c_3+c_5$$ A continuación, las raíces son: $$\rho_1=\frac{\pm1}{\sqrt{2}\color{red}{D_N}}[\sqrt{\color{red}{S_Q}}-\color{red}{R_D}]$$

Answer 2

No es un simple formulario.

Solución:

$\rho = (R \pm S)/Q$

Donde

$Q = \textrm{ sin}( \frac{\pi}{2 n} )^3( 32 n - 16 \textrm{ cot}(\frac{\pi}{2 n}))$

$R = -12 \textrm{ cos}(\frac{\pi}{2 n}) + 6 \textrm{ cos}(\frac{3 \pi}{2 n} ) - 2 \textrm{ cos}( \frac{5 \pi}{2 n}) + 2 n \left(14 \textrm{ pecado}( \frac{\pi}{2 n}) - 5 \textrm{ pecado}( \frac{3\pi}{2 n}) + \textrm{ pecado}( \frac{5\pi}{2 n}) \right)$

$S = \sqrt{2} \sqrt{22 - 58 n^2 + 6 (1 + 17 n^2) \textrm{ cos}( \frac{\pi}{n} ) - 56 n^2 \textrm{ cos}(\frac{2\pi}{n}) + (9 + 11 n^2) \textrm{ cos}(\frac{3\pi}{n}) + 2 (-3 + n^2) \textrm{ cos}(\frac{4\pi}{n}) - (-1 + n^2) \textrm{ cos}(\frac{5\pi}{n}) - 20 n \textrm{ pecado}( \frac{\pi}{n}) + 8 n \textrm{ pecado}( \frac{2\pi}{n}) - 22 n \textrm{ pecado}(\frac{3\pi}{n}) + 12 n \textrm{ pecado}( \frac{4\pi}{n} ) - 2 n \textrm{ pecado}( \frac{5\pi}{n})} $