Calculando

Question

Tengo una dificultad en el cálculo de este límite:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3},$$

He tratado de $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, luego Unificado el denominador del numerador del problema determinado Finalmente conseguí $$\lim{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{3} \cos x} - \lim{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x^3},$ $

¿Entonces conseguí pegado, alguien me podria ayudar en resolverlo?

Answer 1

$x\ne0,$

$${\tan x-\sin x\over x^3}=\left({\sin x\over x}\right)^3\dfrac1{\cos x \,(1+\cos x)}$$

Ahora como $x\to0,x\ne0$

Answer 2

PS

Answer 3

SUGERENCIA:

Podemos escribir

$$\begin{align} \frac{\tan(x)-\sin(x)}{x^3}&=\frac{\sin(x)(1-\cos(x))}{\cos(x)x^3}\\ &=\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right) \end {Alinee el} $$

Answer 4

Si dejamos que $A_n$ ser arriba/abajo números que tenemos:

$$\tan x = \sum{n=0}^\infty\frac{A{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$ $$\sin x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

Así son los primeros pocos coeficientes de $\tan x - \sin x$:

$$0 + \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{8}x^5 + \cdots$$

Por lo tanto si dividimos por $x^3$ obtenemos un coeficiente constante de $\dfrac{1}{2}$ y todo lo demás se desvanece como $x \to 0$.