Calcular $\int \log(1+\log(x))x^ndx$

Question

¿Cómo calcular la siguiente integral? $$\int \log(1+\log(x))x^ndx,$$ $n$ es un número entero $\in N$ .

Answer 1

$\textbf{small hint}$ Esto fue un resultado directo de la salida de Mathematica como lo muestra el usuario* en los comentarios anteriores. $$\int \log(1+\log(x))x^ndx = \int \log(\log(ex))x^ndx$$

sustituto $t = ex$ encontramos $$\begin{eqnarray} \int \log(1+\log(x))x^ndx &=& \frac{1}{e}\int \log(\log(t))\left(\frac{t}{e}\right)^ndt \\ &=& e^{-(n+1)}\int\log(\log(t))t^ndt \end{eqnarray}$$ hacer otro submarino $\log t = u$ encontramos $$e^{-(n+1)}\int \log u \mathrm{e}^{(n+1)u}du$$

utilizando el hecho $$\int \mathrm{e}^{cx}\ln x = \frac{1}{c}\left(\mathrm{e}^{cx}\ln |x| - \mathrm{Ei}(cx)\right)$$ encontramos que con $c=n+1$ y $x = u$ $$e^{-(n+1)}\int \log u \mathrm{e}^{(n+1)u}du = e^{-(n+1)}\frac{1}{n+1}\left(\mathrm{e}^{(n+1)u}\ln |u| - \mathrm{Ei}[(n-1)u]\right)$$ y deberías poder rematar con la subrogación en $u = 1+ \log(x)$

Answer 2

Creo que se puede resolver de esta manera $$\int \ln(1+\ln x)x^n dx$$ utilizando la integración por partes $$u=\ln(1+\ln x)\Rightarrow du=\frac{\frac{1}{x}}{1+\ln x}dx=\frac{dx}{x(1+\ln x)}\\ dv=x^ndx\Rightarrow v=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\ \int \ln(1+\ln x)x^n dx=\ln(1+\ln x)\frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int\frac{x^n}{1+\ln x}dx=\\ \frac{1}{n+1}\left[\ln(1+\ln x)x^{n+1}-\int\frac{x^n}{1+\ln x}dx\right]=\\ \frac{1}{n+1}\left[\ln(1+\ln x)x^{n+1}-\int\frac{x^n}{\ln ex}dx\right]$$ entonces $$\int\frac{x^n}{\ln ex}dx\\ u=\ln ex\\ e^u=ex\Rightarrow x=e^{u-1}\\ du=\frac{dx}{x}\Rightarrow dx=xdu=e^{u-1}du\\ \int\frac{x^n}{\ln ex}dx=\int\frac{(e^{u-1})^n}{u}e^{u-1}du=\int\frac{e^{nu-n}e^{u-1}}{u}du=\\ \int\frac{e^{(n+1)u}e^{-(n+1)}}{u}du=e^{-(n+1)}\int\frac{e^{(n+1)u}}{u}du=\\ e^{-(n+1)}\text{Ei}[(n+1)u]=e^{-(n+1)}\text{Ei}[(n+1)\ln ex]=e^{-(n+1)}\text{Ei}[(n+1)(1+\ln x)]$$ que da $$\frac{\ln(1+\ln x)x^{n+1}-e^{-(n+1)}\text{Ei}[(n+1)(1+\ln x)]}{n+1}$$