Un resultado de tipo Ramsey para familias de subconjuntos

Question

Sea $S$ un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$. Considerar el % familiar dirigido $\mathcal{C}$(aquí dirigida significa dirigido con respecto a la inclusión) de todos los subconjuntos infinitos numerable de $S$. Supongamos

$$\mathcal{C} = \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{C}_n$$

para algunas familias $\mathcal{C}_n$. ¿Sigue que algunos $n0$la familia$\mathcal{C}{n_0}$ contiene una subfamilia incontable, dirigido?

Por supuesto, al menos un $\mathcal{C}_n$ incontable, así que tomemos este. ¿Incluirá una subfamilia dirigido innumerables?

Answer 1

Sí. $S = \omega_1$, Uno de lo %#% de #% debe contener números ordinales uncountably muchos y ahí un incontables linealmente ordenaron subfamilia.

También no todas las innumerables familias contiene uno. Por ejemplo, una familia casi separada.

Answer 2

Mejorar el resultado de caliente-queens, tenga en cuenta que esto es cierto incluso si S es infinito numerable. Para mostrar esto identificar S racionales y nota que un $C_n$ debe contener uncountably muchos reales donde ve un real x como el conjunto de racionales inferior a x.