Aquí es un poco diferente de la prueba que puede ser de interés, aunque
no es tan elegante como el de @leonbloy.
Supongamos que tratar el problema de la $t$ colas antes de $h$ cabezas.
La codificación de esta en función de la generación de con $u$ marcado secuencias de
colas de longitud de, al menos, $t$ $v$ secuencias de jefes de longitud en
menos $h$ y, finalmente, $w$ que marca el final de la ocurrencia de $h$ cabezas
y la introducción de
$$G_t(z) = z+z^2+\cdots +z^{t-1}+uz^t\frac{1}{1-z}
\quad\text{y}\quad
G_h(z) = z+z^2+\cdots +z^{h-1}+vz^h\frac{1}{1-z}$$
obtenemos
$$H(z) = (1+G_t(z))
\left(\sum_{k\ge 0} G_h(z)^k G_t(z)^k\right)
\left(1+z+\cdots+z^{h-1} + wz^h + z^{h+1}\frac{1}{1-z}\right).$$
Observar que cuando se retire los tres marcadores $u,v$ $w$ obtenemos
$$P(z) = \frac{1}{1-z}
\left(\sum_{k\ge 0} \frac{z^k}{(1-z)^k} \frac{z^k}{(1-z)^k}\right)
\frac{1}{1-z}
\\ = \frac{1}{(1-z)^2} \frac{1}{1-z^2/(1-z)^2}
= \frac{1}{(1-z)^2-z^2} = \frac{1}{1-2z}$$
que es una buena noticia porque significa que hemos enumerado todos los $2^n$
posibles cadenas de bits de longitud $n.$
Ahora la extracción de los coeficientes estamos interesados en la serie en $w$
que los rendimientos de
$$H_1(z) = z^h (1+G_t(z))
\left(\sum_{k\ge 0} G_h(z)^k G_t(z)^k\right)$$
El siguiente paso es descartar aquellos términos que han $v\ge 1$ (lo que significa un
interna de la ocurrencia de $h$ cabezas) que los rendimientos sobre la configuración de $v=0$
$$H_2(z) = z^h (1+G_t(z))
\left(\sum_{k\ge 0}
\left(z\frac{1-z^{h-1}}{1-z}\right)^k G_t(z)^k\right).$$
Por último tenemos que calcular el
$$H_3(z) =
\a la izquierda. H_2(z)\right|_{u=1} - \a la izquierda. H_2(z)\right|_{u=0}$$
para eliminar los términos que no contienen una carrera de al menos $t$ colas.
Este rendimientos
$$H_3(z) = z^h \frac{1}{1-z}
\left(\sum_{k\ge 0}
\left(z\frac{1-z^{h-1}}{1-z}\right)^k
\left(\frac{z}{1-z}\right)^k\right)
\\ - z^h \frac{1-z^t}{1-z}
\left(\sum_{k\ge 0}
\left(z\frac{1-z^{h-1}}{1-z}\right)^k
\left(z\frac{1-z^{t-1}}{1-z}\right)^k\right).$$
Esto finalmente se produce
$$H_3(z) = z^h\frac{1}{1-z}
\frac{1}{1-z^2 (1-z^{h-1})/(1-z)^2}
\\ - z^h\frac{1-z^t}{1-z}
\frac{1}{1 - z^2(1-z^{h-1})(1-z^{t-1}))/(1-z)^2}
\\ = z^h
\frac{1-z}{(1-z)^2-z^2 (1-z^{h-1})}
\\ - z^h (1-z^t)
\frac{1-z}{(1-z)^2 - z^2 (1-z^{h-1})(1-z^{t-1})}
\\ = z^h
\frac{1-z}{1 - 2z + z^{h+1}}
- z^h (1-z^t)
\frac{1-z}{1 - 2z + z^{h+1} + z^{t+1} z^{h+t}}.$$
Podemos obtener la probabilidad mediante el establecimiento $z=1/2$
que los rendimientos de
$$\frac{1}{2^{h+1}} 2^{h+1}
- \frac{1}{2^{h+1}} \left(1-\frac{1}{2^t}\right)
\frac{1}{1/2^{h+1}+1/2^{t+1}-1/2^{h+t}}
\\ = 1
- \frac{2^t-1}{2^{h+t+1}}
\frac{1}{1/2^{h+1}+1/2^{t+1}-1/2^{h+t}}
\\ = 1
- (2^t-1)
\frac{1}{2^t+2^h-2}
= \frac{2^t+2^h-2-(2^t-1)}{2^t+2^h-2}
\\ = \frac{2^h-1}{2^t+2^h-2}.$$
