Encontrar el valor de esta suma Triple

Question

Encontrar el valor de $$S=\sum{i=0}^{\infty}\sum{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^{i+j+k}}$$ where $i # \ne j \ne k$

he probado de esta manera:

En primer lugar fijar $j$ y $k$, entonces haz

$$S1=\sum{\substack{i=0 \ i\neq j,k}}^{\infty}\frac{1}{3^{i+j+k}}$$ where $j # \ne k$

Así conseguimos %#% $ #%

Así que ahora

$$S_1=\left(\frac{3}{2} \times\frac{1}{3^{j+k}}\right)-\frac{1}{3^{2j+k}}-\frac{1}{3^{j+2k}}$$

Así $$S2=\sum{\substack{j=0 \ j\neq k}}^{\infty}\left(\left(\frac{3}{2} \times\frac{1}{3^{j+k}}\right)-\frac{1}{3^{2j+k}}-\frac{1}{3^{j+2k}}\right)$ $

Finalmente

$$S_2=\left(\frac{9}{4} \times \frac{1}{3^k}\right)-\left(\frac{9}{8} \times \frac{1}{3^k}\right)-\left(\frac{3}{2}\times \frac{1}{9^k}\right)-\left(\frac{3}{2}\times \frac{1}{3^{2k}}\right)+\left(\frac{2}{3^{3k}}\right)$$

obtenemos

$$S=\sum{k=0}^{\infty}\left(\frac{9}{4} \times \frac{1}{3^k}\right)-\left(\frac{9}{8} \times \frac{1}{3^k}\right)-\left(\frac{3}{2}\times \frac{1}{9^k}\right)+\sum{k=0}^{\infty}\frac{2}{3^{3k}}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\frac{3}{2}}{3^{2k}}$ $ por lo tanto

$$S=\frac{27}{16}-\frac{27}{16}+\frac{54}{26}-\frac{27}{16}$$

hay cualquier otro enfoque como usar integración etcetera

Answer 1

Usted tiene $$S=S_0-S_1-S_2+S_3$$ donde $S_0$ es la suma sobre todos los triples $(i,j,k)$, $S_1$ es la suma de más de triples $(i,j,k)$$i=j$, $S_2$ es la suma de más de triples $(i,j,k)$ $j=k$ y $S_3$ es la suma de más de triples $(i,j,k)$$i=j=k$. Esto es, básicamente, la inclusión-exclusión. Entonces $$S_0=\left(\frac32\right)^3=\frac{27}8,$$ $$S_1=S_2=\sum_{i=0}^\infty\frac1{9^i}\sum_{k=0}^\infty\frac1{3^k} =\frac{27}{16}$$ y $$S_3=\sum_{i=0}^\infty\frac1{27^i}=\frac{27}{26}$$ etc.

AÑADIDO EN LA EDICIÓN DE Si usted realmente desea la suma de $(i,j,k)$ con $i$, $j$, $k$ distintos, y no sólo con $i\ne j\ne k$, luego de inclusión-exclusión le dará la respuesta $S_0-3S_1+2S_3$ lugar.

Answer 2

Para todos los $i,j,k$,

$A = \sum_ {i = 0} ^ \infty\frac 1 {3 ^ i} = \frac 1 {\frac 1 13} = \frac 32\ \therefore A ^ 3 = \frac {27} 8$ $ $i=j(=r)\neq k$,

$$B=\sum{k=0}^\infty\frac 1{3^k}\sum{r=0}^\infty \frac 1{3^{2r}}=\frac 32\cdot \frac 1{1-\frac 19}=\frac 32\cdot \frac 98=\frac {27}{16}$$

$i=j=k(=r)$,

$$C=\sum{r=0}^\infty \frac 1{3^{3r}}=\frac 1{1-\frac 1{27}}=\frac {27}{26}$ $ La suma requerida, $$\sum{i,j,k=0\i\neq j\neq k}^\infty\frac 1{3^{i+j+k}}=A^3-3B+2C=27\left(\frac 18-\frac 3{16}+\frac 1{13}\right)=\color{red}{\frac {81}{208}}$ $