Dejemos que $\mathcal{A}$ sea el conjunto de particiones en las que cada parte puede aparecer 0, 1, 4 o 5 veces y sea $\mathcal{B}$ sea el conjunto de particiones que no tienen partes congruentes con 2mod4, y en las que las partes divisibles por cuatro ocurren como máximo una vez cada una. Entonces, para cualquier $n \in \mathbb{N}$ Necesito demostrar que $|\mathcal{A}_n| = |\mathcal{B}_n|$ . En otras palabras, necesito demostrar que el número de particiones en $\mathcal{A}$ de tamaño n es igual al número de particiones $\mathcal{B}$ de tamaño n.
Lo que he hecho hasta ahora ha sido lo siguiente. He conseguido derivar las dos funciones generadoras, a saber:
$$\begin{equation*}\Phi_\mathcal{A} = \prod_{j=1}^{\infty}(1 + x^j + x^{4j} + x ^{5j})\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\Phi_\mathcal{B} = \prod_{j=1}^{\infty}(1 + x^{4j})\left(\frac{1}{1-x^{4j-3}}\right)\left(\frac{1}{1-x^{4j-1}}\right)\end{equation*}$$
Además, para demostrar que $|\mathcal{A}_n| = |\mathcal{B}_n|$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$ basta con demostrar que las dos funciones generadoras son iguales, $\Phi_\mathcal{A} = \Phi_\mathcal{B}$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder para manupularlos con el fin de mostrar este resultado final deseado. Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.
