¿Cuál es la interpretación física del producto punto?

Question

Consideremos dos vectores $V_1$ y $V_2$ en $\mathbb{R}^3$ . Cuando tomamos su producto punto obtenemos un número real. ¿Cómo se relaciona ese número con los vectores? ¿Hay alguna forma de visualizarlo?

Answer 1

Imagina temporalmente que $V_2$ es de longitud unitaria. Entonces, $V_1 \cdot V_2$ es la proyección del vector $V_1$ sobre el vector $V_2$ . Imagen aquí . Ahora dejamos que $V_2$ tenga su longitud original y para ello multiplicamos el resultado del producto punto por la nueva longitud de $V_2$ . (Esto tiene el efecto de hacer que no importe cuál de ellos pretendes que tiene longitud unitaria inicialmente).

Este tipo de cosas se hacen cuando se escribe un vector como suma de múltiplos de los vectores de coordenadas unitarias estándar (a veces se escribe $\hat{x}, \hat{y}$ y $\hat{z}$ ). Utiliza el producto punto para proyectar tu vector sobre $\hat{x}$ obtener el múltiplo de $\hat{x}$ que, cuando se ensamblan con los otros componentes se sumará a su vector.

El producto punto es una medida (pobre) del grado de paralelismo de dos vectores. Si apuntan en la misma dirección (o en direcciones opuestas), la proyección de uno sobre el otro no es sólo una componente de la longitud del vector proyectado, sino el vector proyectado completo. No es una buena medida porque se escala por las longitudes de los dos vectores, por lo que para determinar su paralelismo o perpendicularidad hay que conocer no sólo su producto escalar, sino también sus longitudes.

En física, el producto escalar se utiliza con frecuencia para determinar el paralelismo de una cantidad vectorial con una construcción geométrica, por ejemplo, la dirección del movimiento (desplazamiento) frente a una fuerza parcialmente opuesta (para averiguar cuánto trabajo hay que realizar para vencer la fuerza). Otro ejemplo es la dirección del campo eléctrico en comparación con una pequeña porción de superficie (que se representa con un vector " normal " a su superficie y de longitud proporcional a su área).

Answer 2

El producto punto ${\bf a}\cdot{\bf b}$ mide la longitud de ${\bf a}$ sobre $\bf b$ (el $1$ -subespacio dimensional del que forma parte), escalado por la longitud de $\bf b$ sí mismo. Y a la inversa. El escalado es bueno porque significa que el producto punto es bilineal en sus dos argumentos. Físicamente, puede medir cuánto de algo en una dirección se mueve en otra dirección. Por ejemplo, supongamos que el agua se desplaza a través de una red (en forma de plano) colocada en el océano -y, para simplificar, el agua se mueve monolíticamente: la misma dirección a la misma velocidad en cada punto-, pero la dirección del movimiento no es perfectamente perpendicular a la red. El producto punto del vector normal unitario de la red por el vector velocidad del agua nos dirá cuánto se mueve a través de la red. Si lo aplicamos a una escala infinitesimal y lo integramos, podemos determinar qué parte de algo que se mueve con un campo vectorial se desplaza a través de una superficie; es la mitad del teorema de la divergencia.