Modelo de extensión completa de la teoría de conjuntos de Zermelo

Question

La teoría del modelo de Chang y Keisler da el siguiente problema de ejercicio:

Demostrar que existe una extensión completa $T$ de Teoría de conjuntos de Zermelo que tiene modelos naturales de tamaño arbitrario.

(Un modelo $\mathfrak{A}$ de la teoría de conjuntos es natural si $\mathfrak{A}=(V_\alpha,\in)$ para algunos $\alpha$ . )

No sé cómo probar este problema. Cualquier pista o idea será muy apreciada.

Answer 1

Esta es una forma sencilla de hacerlo. Supongamos que falla. Entonces deja que $F(T)$ sea el menor ordinal $\alpha$ tal que para todo $\beta>\alpha$ , $V_\beta\not\vDash T$ (donde $T$ es una extensión completa de $Z$ ). Dado que las extensiones completas de $Z$ forman un conjunto, la sustitución implica que $rng(F)$ es un conjunto y por lo tanto que tiene un límite superior mínimo $\beta$ . Sea $\lambda$ sea el límite mínimo mayor que $\beta$ . Entonces $V_\lambda\not\vDash T$ para todas las extensiones completas $T$ de $Z$ , lo cual es imposible.