Integrales definidas que son difíciles de usar con FTC pero que se pueden hacer desde los primeros principios

Question

Cuando me presentaron a la integración, se me fue brevemente expuestos a la definición de una suma de Riemann, y como una ilustración de la que salió un par de integrales definidas directamente a partir de esta definición: $$ \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} f\left(x_k\right) \Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b}{n}, \qquad x_k = a + k\Delta x $$ Estos resultó ser bastante tedioso, y rápidamente tuve muestra que el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) proporciona una forma mucho más conveniente de hacer las cosas.

Me pregunto si hay alguna ejemplos de integrales definidas que son difíciles de evaluar el uso de la FTC, porque la antiderivada de $f(x)$ es difícil de encontrar, sin embargo, son susceptibles a ser trabajado directamente de la definición.

Answer 1

Deje que$C$ sea el conjunto de Cantor . Defina $$ f (x) = \begin{cases}1 & x\not \in C\\ 0&x \in C\\ \end {casos} $$

Entonces $\int_0^1 f(x)dx =1$.

(Y está bien definido como una integral de Riemann).