producto interno y operador adjunto

Question

Este es un problema que encontré en Schaum's Outlines: Álgebra Lineal, y me preguntaba si alguien sabía cómo resolverlo. Empecé utilizando la integración por partes, pero ese enfoque no me llevó a ninguna conclusión.

Sea V el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables sobre R que son periódicas de período h>0 [es decir, f(x+h) = f(x) para toda x en R]. Definamos un producto interior sobre V por $$\langle f,g\rangle =\int_{-h}^hf(x)g(x)dx$$ Dejemos que $\alpha(f)=f'$ . Encuentre $\alpha^*$ .

Sé que el adjunto implica la relación $\langle\alpha(f),g\rangle= \langle f,\alpha^*(g)\rangle$ .

Gracias.

Answer 1

Tenemos $$\langle \alpha(f),g\rangle=\int_{-h}^hf'(t)g(t)dt=\left[f(t)g(t)\right]_{-h}^h-\int_{-h}^hf(t)g'(t)dt.$$ Como $f\cdot g$ es periódica de periodo $h$ , $\left[f(t)g(t)\right]_{-h}^h=0$ Así que $\alpha^*(f)=-\alpha(f)$ .

Answer 2

Sí, $\left.f(x)g(x)\right|_{-h}^{+h}=0$ porque $f(x+h)=f(x) \forall x \in \Re$ es decir, con $x=0$ , $f(h)=f(0)$ y con $x=-h$ , $f(0)=f(-h)$ . Lo mismo ocurre con $g(x)$ Así que $f(h)g(h)=f(0)g(0)=f(-h)g(-h)$ y $\left.f(x)g(x)\right|_{-h}^{+h}=0$ . QED.