Límite de $f_n(x) = n\log(\frac{nx+1}{nx-1})$ y su convergencia uniforme

Question

Que $f_n(x) = n\log(\frac{nx+1}{nx-1})$. ¿Cuál es el límite del pointwise de $f_n$ $x \in[1,\infty]$? ¿Es uniformemente convergente?

¿$$\lim{n\longrightarrow \infty}n\log(\frac{nx+1}{nx-1})=\lim{n\longrightarrow \infty}\frac{\log\left(\frac{x+\frac{1}{n}}{x-\frac{1}{n}}\right)}{\frac{1}{n}}\stackrel{H}{=}\lim{n\longrightarrow \infty}\frac{\frac{-2x}{n^2}\frac{1}{(x-\frac{1}{n})(x+\frac{1}{n})}}{\frac{-1}{n^2}}=\lim{n\longrightarrow \infty}\frac{2x}{(x-\frac{1}{n})(x+\frac{1}{n})}=\frac{2}{x}$ $ Es esto correcto? ¿Y cómo comprobar la convergencia uniforme? Gustaría no buscar $\sup$ $|n\log(\frac{nx+1}{nx-1}) - \frac{2}{x}|$...

Answer 1

Parece correcto para mí. El supremum es bastante fácil aquí. Tenga en cuenta que,

\begin{align} g(x) &:= \frac 2x - n\log(\frac{nx+1}{nx-1}) \ &= \frac 2x - n\log(nx+1) + n\log(nx-1) \ \implies g'(x) &= -\frac 2{x^2} - \frac {n^2}{nx+1} + \frac {n^2}{nx-1} \ &= -\frac 2{x^2} + \frac {2n^2}{(nx+1)(nx-1)} \ &= -\frac 2{x^2} + \frac {2n^2}{n^2x^2-1} \ &= -\frac 2{x^2} + \frac {2}{x^2-\frac 1{n^2}} \ &\geq 0 \end {Alinee el}

Así $g(x)$ es monótono y acerca su supremum en un extremo. Está bastante claro que $\lim{x\to\infty}g(x)=0$, que $\sup{x\in[1,\infty)}|g(x)| = |g(1)| = |2-n\log(\frac{n+1}{n-1})| \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$

Answer 2

Su pointwise límite es correcta (se podría haber comprobado que con Wolfram Alpha o tal). No he revisado todos los detalles, los derivados en el de L'Hospital de la regla de paso parece que podría haber un pequeño error (que desaparece $n \to \infty$, sin embargo).

Para justificar la homogeneidad, se puede calcular el límite de una manera diferente por completo. Si nos trae la $n$ dentro del logaritmo y hacer una división larga, entonces tenemos

$$\log \left ( \left ( \frac{nx+1}{nx-1} \right )^n \right ) = \log \left ( \left ( 1 + \frac{2}{nx-1} \right )^n \right ) = \log \left ( \left ( 1 + \frac{1}{n} \frac{2}{x-1/n} \right )^n \right ) $$

Usted puede reconocer la manera en la que he escrito el interior como la convergencia de a $\exp(2/x)$. Así que si usted sabe cómo mostrar que $\left ( 1 + x/n \right )^n$ converge uniformemente (en compacto conjuntos de) a $\exp(x)$, se puede argumentar que el logaritmo es uniformemente continua en a $[1,\infty)$ para terminar el problema.