Siento decirle que sus colegas tienen razón.
Sea el tamaño de la población $N$ ; $X_i$ el número de árboles de la parcela $i$ y $Y_i$ el número de árboles de la parcela $i$ Que haya $n$ parcelas de la muestra (aquí $n = 4$ ) y que $x_i$ $y_i$ son los recuentos de muestras de árboles y de árboles de diámetro <6 pulgadas, respectivamente, en la parcela i-ésima. Los totales poblacional y muestral se denominan $X,\thinspace x,\thinspace Y,\thinspace y$ .
Entonces la fracción de todos los árboles de la población con diámetro $<$ 15 centímetros es:
$$ R = \frac{\sum_{i=1}^NY_i}{\sum_{i=1}^NX_i}= \frac{Y}{X} $$ Las parcelas sin árboles contribuyen con cero tanto al numerador como al denominador y no afectan al cálculo. Se trata de un relación . Los totales de la muestra de árboles y $<$ 6 pulgadas de diámetro son $y = 1$ y $x = 4$ . La estimación de su colega de la proporción de población $R$ i $$ \widehat{R} = \frac{y}{x}= \frac{1}{4} $$ Esto se conoce como estimador de la relación ,
Su solución no estima $R$ . Sea $M$ es el número de parcelas de la población con árboles; y sea $m$ sea el número correspondiente de la muestra. Usted está estimando el siguiente promedio de fracciones específicas de parcela: $$ R^* = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^M \frac{Y_i}{X_i} $$ No será igual a $R$ a menos que todas las parcelas tengan el mismo número de árboles.
Para ilustrar la diferencia en lo que estiman las dos soluciones: supongamos que sólo dos parcelas de la población tienen árboles. En una parcela $X_1 = 1000$ árboles y $Y_1 = 500$ ; en el segundo $X_2 = 10$ y $Y_2 = 0$ . La fracción real de árboles con diámetro $<$ 6 pulgadas en la población es $R = .495$ . La cantidad estimada por su solución es $R^* =.25 $ .
Tenga en cuenta que $R$ puede expresarse como una media de los $\dfrac{Y_i}{X_i}$ pero es un ponderado media, con pesos proporcionales al número de árboles de la parcela; es decir, si $W_i =\dfrac{X_i}{\sum_i X_i}$ entonces
$$ R = \sum_{i=1}^N W_i \frac{Y_i}{X_i} $$
Los estimadores de razón se tratan en todos los textos sobre muestreo, por ejemplo, Lohr, 2009, capítulo 4, Cochran, 1977. capítulo 6. Existen fórmulas para los errores estándar, pero requieren un tamaño de muestra (número de parcelas con árboles) superior a 30 (Cochran, 1977, p. 153).
Añadido: Hay situaciones en las que $R^*$ sería el parámetro de destino adecuado. Supongamos que las unidades de muestreo son personas y que el parámetro objetivo es la fracción media de dientes cariados por persona . Esto es $R^*,$ con $X_i$ el número de personas $i$ 's dientes y $Y_i$ el número decaía.
Para una pregunta relacionada sobre una muestra forestal, véase: Media y varianza para muestras desiguales
Referencias
Cochran, WG. 1977. Sampling Techniques, Wiley, NY
Lohr, Sharon L. 2009. Muestreo: Diseño y análisis. Boston, MA: Cengage Brooks-Cole.
