¿Por qué estas dos funciones no pueden ser soluciones a esta ecuación diferencial?

Question

Estoy estudiando para una ODA examen, y trabajando en este problema.

Deje $\displaystyle x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ t \\ \end{bmatrix}$$\displaystyle x_2 = \begin{bmatrix} t \\ 2t^2 \\ \end{bmatrix}$, y llamada por (H) de la ecuación diferencial homogénea

$$x' = A(t) x$$

donde $A$ es un continuo $2 \times 2$ matriz de valores de la función de $t$. Quiero mostrar que la $x_1$ $x_2$ no pueden ser las soluciones a (H). Aquí es cómo me han ido:

Sé que $x_1$ $x_2$ son linealmente independientes, por lo que si ambas son soluciones de (H), a continuación, $W(t) \neq 0$ sobre el dominio de $t$. Y he calculado el $W(t) = t^2$ donde $W$ es el Wronskian de $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & t \\ t & 2t^2 \\ \end{bmatrix}$. Pero como no soy dado un dominio, no tanto en $x_1$ $x_2$ ser: soluciones de (H) mientras que el dominio de $t$ no se incluyen los $0$, ya que sería el único punto donde $W(t) = 0$?

La única cosa que puedo pensar para aplicar es que el máximo intervalo de existencia de cada una de estas soluciones es $\mathbb{R}$, que incluye a $0$. Debo generalmente asumen que si no estoy dado un dominio, quiero que el intervalo máximo de la existencia?

(Si alguien se está preguntando, este es un problema de P. Kong es Un Curso Corto en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Hay una segunda parte, pero me pregunto lo mismo sobre esa parte.)

Edit: he confirmado que, se debe asumir que $A(t)$ es continua en a $\mathbb{R}$.

Answer 1

Usted tiene razón: si no se requiere que$A$ sea continuo en$0$, ambas son soluciones del sistema lineal homogéneo con$$ A(t) = \pmatrix{-1/t & 1/t^2\cr -2 & 3/t\cr}$ $ que es$\Phi'(t) \Phi(t)^{-1}$, donde$\Phi(t)$ es la matriz$2 \times 2$ con las columnas$x_1$ y$x_2$.

Creo que la pregunta pretendía suponer que$A(t)$ es continuo en todo$\mathbb R$.