El subconjunto medible del conjunto Vitaly tiene medida cero. Prueba.

Question

$E_x = \{y \in [0,1]: x-y \in \Bbb{Q}\}$ , $ \varepsilon=\{A \subset [0,1]: \exists x \quad A=E_x\} $ Elegimos un elemento de cada conjunto de la familia $\varepsilon$ . Este es un conjunto Vitaly $V$ .

Demostrar que si $E$ es medible y $E \subset V$ entonces $E$ tiene medida $0$ .

$E_q = [0,1] \bigcap \Bbb{Q} $ , $q \in \Bbb{Q} $

No sé cómo $E$ parece. Sé, por ejemplo, que todo singleton es medible y tiene medida cero. Pero no sé cómo explicar que todo conjunto medible de $V$ tiene medida cero.

Answer 1

Considere

$$E_{\mathbb Q} = \bigcup_{\substack{r \in \mathbb Q \\ -1 \le r \le 1}} (E+r) \subseteq [-1,2]$$

Se trata de una unión infinita contable de subconjuntos disjuntos, cada uno de los cuales tiene la medida de $E$ . Si la medida de $E$ sería estrictamente positivo, $E_{\mathbb Q}$ tendría una medida infinita, en contradicción con $E_{\mathbb Q} \subseteq [-1,2]$ .