el grupo de clases de homotopía de fibra de equivalencia de homotopía de fibra. Cómo computarlo

Question

Como el título sugiere, por un fibration $\xi \colon E \to B$ necesito para calcular el grupo $$ Aut(\xi)$$ which has as elements the fibre homotopy classes of fibre homotopy equivalences $E\a E$ for this trivial fibration: $$ K(\pi,1) \times BSO \xrightarrow{\pi_2} BSO$$ donde $ K(\pi,1)$ es el Eilenberg-MacLane espacio con $\pi_1=\pi$ $BSO$ es la clasificación de espacio para $SO$. Esta es la propuesta de cálculo: $$ [K(\pi,1) \times BSO,K(\pi,1)] \simeq [K(\pi,1),K(\pi,1)] \simeq Out(\pi)$$ where $[K(\pi,1) \times BSO,K(\pi,1)]$ is justified by the fact that we are requiring that the map preserve the fibration and therefore the second component has to be trivial (i.e. this is the only interesting component). The next step is justified by the fact that we know up to homotopy that maps into a $K(\pi,1)$ form a connected space are in bijection with maps $\pi_1(K(\pi,1)\times BSO)\a \pi$, together with $\pi_1BSO=*$. Last passage is another application of this reasoning together with the fact that inner automorphisms correspond to base point changes and an element of $[K(\pi,1),K(\pi,1)]$ es independiente del punto de base.

Parece que todo el trabajo parte del hecho de que de acuerdo a la definición que estamos buscando fibra de homotopy clases de (fibra) homotopy equivalencias. Puse el soporte alrededor de la segunda fibra ya que es bien sabido que el que puede relajarse tales hipótesis si estamos tratando con fibra de homotopy equivalencias.

Según yo estamos calculando homotopy clases de dicha fibra homotopy equivalencias, y no la "fibra". Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Dado un paquete trivial $B \times F \to B$, fibra-preservar los mapas $B \times F \to B \times F$ que cubren la identidad están en biyección canónica con mapas $B \times F \to F$, $f \mapsto \pi_2 f$ y en la otra dirección, $g \mapsto \pi_1 \times g$. Ajuste $F = K(\pi,1)$ y $B = BSO$ (o $BSO \times I$ en el caso de homotopies) vemos que existe una biyección canónica entre mapas de preservación de fibra hasta conservación de fibra de homotopía de $F \times B \to F \times B$ y $[F \times B, F]$.