Número de posibilidades para elegir a los delegados de clase

Question

Pregunta : Una escuela tiene 4 clases. Cada clase consta de 25 alumnos. El colegio tiene que elegir 10 delegados de clase, en los que haya un mínimo de un alumno de cada clase. ¿Cuántas formas hay de hacerlo?

Entiendo por qué la respuesta final, utilizando la inclusión/exclusión, será: $${{100}\choose{10}} - {{4}\choose{3}}{{75}\choose{10}} + {{4}\choose{2}}{{50}\choose{10}} - {{4}\choose{1}}{{25}\choose{10}}$$

Pero, ¿por qué no podría hacer algo como lo siguiente? En primer lugar, tengo que asegurar que hay 4 estudiantes, cada uno de los cuales representa una clase distinta. En total, hay $25^{4}$ formas de hacerlo. Después, puedo elegir las 6 plazas disponibles para los delegados de clase del $100-4 = 96$ estudiantes, lo que significa que hay ${96}\choose{6}$ formas de hacerlo. En total, de lo que acabo de describir, donde sería un total de: $${25^{4}}*{{96}\choose{6}}$$ posibilidades para la selección.

Conceptualmente debo estar entendiendo algo mal. ¿Qué estoy contando de más o de menos?

Answer 1

Eso parece ser un recuento excesivo. Digamos que los estudiantes en las clases $A$ , $B$ , $C$ , $D$ se denominan como $a_1,...,a_{25}$ para la clase $A$ ; $b_1,...,b_{25}$ para la clase $B$ ; $c_1,...,c_{25}$ para la clase $C$ , $d_1,...,d_{25}$ para la clase $D$ . Entonces, cuando elegimos primero un estudiante de cada clase, supongamos que hemos elegido $a_1$ , $b_1$ , $c_1$ y $d_1$ . Entonces, supongamos que el resto de los estudiantes son $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ y $a_7$ . Pero, esto es lo mismo que elegir $a_2$ primero en lugar de $a_1$ y, a continuación, elegir $a_1$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ y $a_7$ . Así que estamos contando de más.

NOTA: Puedes ver fácilmente que el ejemplo que he puesto no es el único caso en el que contamos más de una vez.