Problema con convergencia uniforme

Question

Que $f_n$ ($n=1,2,\dots$) sea una secuencia de funciones $f_n\colon \mathbb R\to \mathbb R$ % de la clase $C^1$tal que $f_n \rightrightarrows 0 $, $f_n' \rightrightarrows 0 $. Por otra parte, asumir que funciones $f_n(\sqrt{x})$ ($n=1,2,...$) son también de clase $C^1[0, \infty)$.

¿Es $[f_n(\sqrt{x})]' \rightrightarrows 0$?

Answer 1

Tomar el $f_n(x)=a_n/(1+(x/b_n)^2)$ conveniente secuencias de números positivos $a_n,b_n$. A $f_n\rightrightarrows0$ necesitamos $a_n\to0$, $f_n'\rightrightarrows0$ necesitamos $a_n/b_n\to0$ (buscar el máximo de $|f_n'|$ a verlo) y $[f_n(\sqrt{x})]' \rightrightarrows 0$ lo $a_n/b_n^2\to0$. Así que un contraejemplo es $a_n=1/n$, $b_n=1/\sqrt{n}$.