He aquí un problema estoy luchando, sobre todo la segunda pregunta.
Deje $f$ ser un holomorphic de la función en $\mathbb{D}$, decir $f(z) = \sum a_n z^n$. Supongamos que $f$ satisface la siguiente condición :
$$\sum_{n = 2}^{+ \infty} n|a_n| < |a_1| $$
Demostrar que $f$ tarda exactamente una vez el valor de $a_0$.
Demostrar que $f$ es inyectiva.
La primera pregunta es simplemente una aplicación del teorema de Rouché a$f - a_0$$a_1 z$. No puedo encontrar la respuesta para la segunda.
Lo he intentado y conseguido hasta ahora :
Deje $f_n(z) = a_0 + ... + a_n z^n$. De verificar que la misma suposición como $f$, por lo que el valor de $a_0$ sólo una vez en $\mathbb{D}$. Convergen en $\mathcal{H}(\mathbb{D})$$f$, así que si podemos demostrar que es inyectiva, teorema de Hurwitz iba a aplicar de inmediato. No tuve éxito en probar la inyectividad de $f_n$.
$f$ $f_n$ tiene un nonvanishing derivados. Esto puede ser visto simplemente el uso de la asunción, que yelds $|f'(z) - a_1| < |a_1|$ por cada $z \in \mathbb{D}$.
Cualquier ayuda es bienvenida ! HQ
