Operador inversible no preservar la dimensión de Hilbert

Question

Es sabido que para un operador lineal biyectiva del $T:X\to Y$ las dimensiones algebraicas de los espacios lineales $X$ $Y$ coinciden.

Solicito un ejemplo de un operador lineal (limitado) inversible entre (infinito dimensional) espacios de Hilbert, tales que su dimensión de Hilbert es diferente.

Answer 1

Observe que si usted tiene un $\kappa$-(Hilbert) dimensiones del espacio, que cuenta con una densa subconjunto de cardinalidad $\kappa$ (infinitas $\kappa$) -- el racional finito de combinaciones de ortonormales vectores de la base.

Por otro lado, cada espacio tiene una colección de $\kappa$ distinto, no vacío abierto conjuntos: las bolas de radio $\frac{1}{2}$ centrado en cada vector de la base, por lo que no tiene ningún subconjunto denso de cualquier menor cardinalidad.

Por lo tanto, es imposible encontrar un homeomorphism entre dos Hilbert espacios de diferentes dimensiones, de modo que no es ciertamente posible encontrar uno lineal (aunque, por supuesto, no son lineales isomorphisms entre espacios de dimensiones adecuadas -- creo iff $\kappa,\lambda$ son tales que $\kappa^\omega=\lambda^\omega$).