Así que estamos hablando de dos cosas distintas. Parece que no te importa un poco de notación avanzada, así que voy a tratar de usar eso para ilustrar el lado matemático de la física que estoy hablando.
Rigidez y eje de rotación
Una de las cosas de las que hablamos es que el objeto es rígido lo que significa que está compuesto por un montón de partículas cuyas distancias son fijas. La forma matemática de decir tis es que su en cualquier momento debe ser representado por un isometría y el grupo de isometrías es $T(3) \times O(3).$ De hecho, la isometría tiene que ser continua con la identidad por lo que en el espacio euclídeo infinito normal podemos especificar a $T(3) \times SO(3),$ traslaciones más rotaciones. Sólo para trabajar la idea básica, dejemos que los índices griegos sean coordenadas y los índices latinos sean partículas, de modo que podamos usar la suma de Einstein sobre los índices griegos. Intentaré usar algunos tensores métricos explícitos $g_{\alpha\beta}$ para denotar el producto punto, para mantener los índices latinos y griegos visiblemente separados. Las partículas tienen vectores de posición $r_n^\alpha$ pero las distancias entre esas partículas son constantes, por lo que $$\frac{d}{dt} \left[g_{\alpha\beta} ~(r_m^\alpha - r_n^\alpha)~(r_m^\beta - r_n^\beta)\right] = 2 g_{\alpha\beta} ~(r_m^\alpha - r_n^\alpha)~(\dot r_m^\beta - \dot r_n^\beta) = 0.$$ Dada una orientación (totalmente antisimétrica $[0,\;n]$ tensor $\epsilon$ en nuestro $\mathbb R^n$ espacio) podemos describir la rotación con un $[n-2,\;0]$ tensor $\Omega$ como $$\dot r^\beta_m = \chi^\beta + g^{\beta\gamma}\epsilon_{\gamma\delta\Lambda}~\Omega^\Lambda~r_m^\delta.$$ Esta forma funcional hace que el término anterior sea $\epsilon_{\alpha\delta\Lambda}~\Omega^\Lambda~R_{mn}^\alpha~R_{mn}^\delta = 0$ debido a la antisimetría del $\epsilon$ donde la forma exacta de $R^\alpha_{mn} = r^\alpha_m - r^\alpha_n$ no importa, al igual que $\Omega^\Lambda$ no importa, al derivar que $0$ . Es puramente por antisimetría. En 2D, $\Omega^\Lambda$ es un escalar; en 3D es un vector; en dimensiones superiores es un tensor, pero en cada caso se convierte en esta matriz antisimétrica $\Omega_{\gamma\delta} = \epsilon_{\gamma\delta\Lambda} ~\Omega^\Lambda.$ El hecho de que todas las rotaciones puedan representarse mediante estas matrices antisimétricas va a ser muy útil dentro de un momento. No estoy seguro de si en dimensiones superiores también salen otros términos; mi pensamiento era simplemente "o necesitas que la velocidad desaparezca directamente o que sea perpendicular a la posición".
Momento angular
Otra es que, debido a que la fórmula de las energías cinética y potencial no dependen de la rotación (una simetría continua), existe una corriente de Noether conservada asociada a esa simetría: el momento angular. En este caso nuestro Lagrangiano tiene la forma $$\frac12 \sum_n m_n g_{\alpha\beta} \dot r_n^\alpha \dot r_n^\beta - \sum_{mn} U_{mn}\left[g_{\alpha\beta} ~ (r_m^\alpha - r_n^\alpha)~(r_m^\beta - r_n^\beta)\right],$$ para un conjunto de potenciales fuertes que obligan al cuerpo a permanecer rígido $U_{mn}.$ Puesto que son simétricos en rotación, y el término cinético es simétrico en rotación, el teorema de Noether dice que, por tanto, obtenemos una cantidad conservada para cualquier desplazamiento infinitesimal que respete la simetría $\delta r^\alpha$ de $$Q = \sum_n \frac{\partial L}{\partial \dot r_n^\alpha} ~\delta r_n^\alpha.$$ De nuevo, la rotación se convierte en una matriz antisimétrica, $\delta r_n^\alpha = g^{\alpha\mu}~\delta\phi_{\mu\nu}~r_n^{\nu},$ por lo que lo anterior se convierte en: $$Q = \sum_n m_n g_{\alpha\beta}~\dot r_n^\beta ~g^{\alpha\mu}~\delta\phi_{\mu\nu}~r_n^{\nu}= \delta\phi_{\mu\nu}~\sum_n m_n~\dot r_n^\mu ~r_n^{\nu} = \delta\phi_{\mu\nu}~Q^{\mu\nu}.$$ Por lo tanto, esta cantidad conservada tiene un $[2,\;0]$ carácter tensorial, ya que podemos elegir cualquier eje para esta rotación. Además, cualquier parte simétrica de este tensor quedará anulada por la antisimetría de la rotación, así que sin pérdida de generalidad podemos antisimetrizarlo también. La notación habitual para esto es escribir $Q^{[\mu\nu]}$ entre corchetes, $$Q^{[\mu\nu]} = \frac12 (Q^{\mu\nu}-Q^{\nu\mu})=\sum_n m_n ~\dot r_n^{[\mu} ~r_n^{\nu]}.$$
Reunirlos
Hemos visto aquí dos expresiones fundamentalmente diferentes: una es el tensor de velocidad angular $\Omega_{\alpha\beta}$ que procede de la rigidez del sistema; el otro es el tensor de momento angular $Q^{\mu\nu},$ que se deriva de la simetría en las ecuaciones de movimiento. Obviamente no son definió lo mismo pero ambos resultan ser antisimétricos. ¿Cuál es la relación entre ellas? Es fácil: sustituye el término rotacional del $\Omega$ expresión para $\dot r_n^\beta$ en el mismo $\dot r$ término en la energía cinética a encontrar: $$Q^{[\mu\nu]} = -\left[\sum_n m_n~r_n^{[\nu}~g^{\mu]\gamma}~r_n^{\delta} \right]~\Omega_{\gamma\delta}.$$ Aquí vemos que a $[4,\;0]$ tensor los relaciona linealmente y tiene $\nu$ - $\delta$ y $\mu$ - $\gamma$ simetría pero $\nu$ - $\mu$ antisimetría. Así que siempre están en una relación directa a través de este tensor de momento de inercia, y eso es básicamente porque las velocidades de las partículas en torno al centro de masa contribuyen directamente al momento angular y están directamente determinadas por un tensor de momento de inercia.
Por supuesto, en $\mathbb R^3$ resulta que es más fácil trabajar con los vectores momento angular y velocidad angular; escribimos $Q^{\mu\nu}$ como $Q_\lambda~\epsilon^{\lambda\mu\nu}$ y observe que para la orientación más común (donde $\epsilon_{123} = 1$ ) tenemos $\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\epsilon_{\beta\gamma\delta} = 2\delta^\alpha_\delta,$ para que $$Q_\lambda = \frac12 \left[\sum_n m_n~\epsilon_{\lambda\mu\nu}~g^{\mu\gamma}~r_n^\nu ~r_n^\delta~\epsilon_{\gamma\delta\kappa} \right] \Omega^\kappa.$$ Así que en $\mathbb R^3$ encontramos una $[0,\;2]$ -tensorial entre las mismas magnitudes, porque ambas matrices de momento angular son secretamente vectores de momento angular.
No estoy del todo seguro de haber explicado bien todos los detalles, pero ésa es la historia general. Los dos conceptos son diferentes, en parte porque uno contiene ideas de "masa" que son diferentes en distintas direcciones y el otro no; pero resultan estar linealmente relacionados a través de los términos $\dot r_n^\alpha$ . Son matrices secretamente antisimétricas con una relación lineal, pero pueden ser convertidas a la baja en $\mathbb R^2$ a escalares o en $\mathbb R^3$ a vectores o en $\mathbb R^4$ a pares de vectores en $\mathbb R^3.$
