¿Cuál es la distinción entre $=$y $:=$ al escribir matemáticas?

Question

Soy persistente confundido por el uso de $=$ $:=$ cuando la lectura de documentos y la escritura en matemáticas. Rápida búsqueda en google de "Cuando el uso se define como (símbolo)", no ha devuelto ningún resultado útil.

La forma en que actualmente estoy usando $:=$ es básicamente asignar el nombre de una variable/cantidad a otra. Por ejemplo, supongamos $f(x):= \sin(x)$, entonces claramente $f'(x) = \cos(x)$. Pero si lo escribo de esta manera, entonces ¿no es también aceptable para escribir:

$$f(x):= \sin(x) := \dfrac{\exp(ix) - \exp(-ix)}{2i}$$ Después de todo, no $\sin$ se define como la diferencia de los complejos exponencial $2i$?

Rara vez he visto a nadie escribir de este modo (ciertamente no en cualquier introductorios de cálculo de los libros de texto), por lo tanto soy reacio a seguir este convenio.

Como otro ejemplo, En la Wikipedia, escribe:

Pero no siguen esta convención cuando la definición de funciones, por ejemplo:

También he visto muy variado uso de $:=$, cuando la introducción de los conjuntos. Algunos autores prefieren decir algo así como: vamos a $C:= \{x\in \mathbb{R}^2|x_1^2+x_2^2 = 1\}$, otros prefieren sólo para decir $C= \{x\in \mathbb{R}^2|x_1^2+x_2^2 = 1\}$

Cualquiera puede elaborar en virtud de la cual el contexto que debo usar $:=$$=$? Lo que es una manera de mantener la coherencia?

Answer 1

Nunca es malo usar "$=$" en una definición. Sin embargo, algunos autores como utilizar "$:=$" para significar y llamar la atención sobre el hecho de que la igualdad en cuestión es una definición (del objeto en el colon lado de la igualdad).

Por ejemplo: si desea definir su función de $f(x)$$f(x) = \sin(x)$, a continuación, escribir $f(x) := \sin(x)$ señala a la atención el hecho de que $f(x)$ "se define como" $f(x)$. Por otro lado, la segunda colon parece mal. No debemos escribir $$ f(x) := \sin(x) := \frac{\exp(ix) - \exp(ix)}{2i} $$ a menos que la última expresión es lo que se está utilizando para la definición de la función $x \mapsto \sin(x)$ (y, por supuesto, esto no es la práctica común). Está perfectamente bien, sin embargo, para escribir

$$ f(x) := \sin(x) = \frac{\exp(ix) - \exp(ix)}{2i} $$

Answer 2

Creo $:=$ es una estilística opción para cuando estás introduciendo algo nuevo, en lugar de un útil de identidad acerca de algo previamente definido o utilizado anteriormente en el documento. Esencialmente, es una forma sencilla de enviar la señal de que $h$ en la: $$h := x^* - x$$ es definido, y así el lector no necesita buscar en el texto de arriba para encontrar exactamente lo que esta variable $h$ es, y que esta declaración no es una afirmación para ser mostrado/de haber sido demostrado. Si el contexto hace que esta claro, usted no tiene que molestarse con el colon, y si vas a afirmar algo que realmente quieres mostrar (como $\sin(x) = \frac {e^{ix} - e^{-ix}} {2i}$, dada la trigonometría definición de $\sin$), que por cierto, no debería utilizar el colon.