Puntos de ramificación de la función W de Lambert

Question

Deje $W_{k}(z)$ ser el kth rama de la función W de Lambert.

Mi pregunta se refiere a la rama punto de que el director de la rama de $W_{0}(z)$ de las acciones con $W_{-1}(z)$$W_{1}(z)$$z = - \frac{1}{e}$.

Por el teorema de la función inversa, $z=f(w)=we^{w}$ no es invertible en la vecindad de un punto en el $f'(w) = e^{w}(1+w)=0$. Por lo $f(w)$ no es invertible en el barrio de $w=-1$.

La rama principal de la función W de Lambert asume el valor de $-1$ en el punto de $z= -\frac{1}{e}$. Y por elección de cierre, $W_{-1}(-\frac{1}{e})=-1$. La rama de $W_{1}(z)$ no incluye cualquier parte del eje real.

Entonces, ¿por qué no $W_{1}(z)$ tiene un punto de ramificación en $z= -\frac{1}{e}$ al $W_{1}(-\frac{1}{e}) \ne -1$?

EDITAR:

Fuentes de ese estado $W_{1}(z)$ tiene un punto de ramificación en $z = - \frac{1}{e}$ incluyen Wolfram Alpha, Arce, y este papel (página 17).

Lo que también me molesta es que la singularidad en cuestión es una raíz cuadrada de la singularidad. (Observe que cerca de $w=-1$, $z \approx - \frac{1}{e} +\frac{(w+1)^{2}}{2e}$.) Tres ramas comparten una raíz cuadrada singularidad parece un poco extraño.

Answer 1

Esto puede ser extrañeza debido a la definición de $\mathrm{W}_1$ $\mathrm{W}_{-1}$ en Mathematica (que es donde supongo que usted está recibiendo las definiciones de las $\mathrm{W}_k$).

Aquí está una parcela para la $k=-1,0,1$ $|\mathrm{W}_k(z+1/e)|$ cerca de $z=-\frac1e$:

$\mathrm{W}_0$ está en rojo en la parte inferior de la hoja, sino $\mathrm{W}_1$ (en azul) y $\mathrm{W}_{-1}$ (en verde) se dividen entre dos hojas. Sólo una hoja parece compartir el punto de ramificación de la con $\mathrm{W}_0$, pero tanto $\mathrm{W}_1$ $\mathrm{W}_{-1}$ son parte de la hoja en cada barrio de el punto de ramificación.

Las cosas se ven un poco mejor si graficamos las funciones $|\mathrm{W}_{\text{green}}(z+1/e)|$ $|\mathrm{W}_{\text{blue}}(z+1/e)|$ donde $$ \mathrm{W}_{\text{verde}}(z)=\left\{\begin{array}{} \mathrm{W}_{-1}(z)&\text{if }\mathrm{Im}(z)\ge0\\ \mathrm{W}_1(z)&\text{if }\mathrm{Im}(z)\lt0\\ \end{array}\right. $$ $$ \mathrm{W}_{\text{blue}}(z)=\left\{\begin{array}{} \mathrm{W}_1(z)&\text{if }\mathrm{Im}(z)\ge0\\ \mathrm{W}_{-1}(z)&\text{if }\mathrm{Im}(z)\lt0\\ \end{array}\right. $$

Ahora, sólo $\mathrm{W}_{\text{green}}$ de las acciones en el punto de ramificación de la con $\mathrm{W}_0$.

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¿Por qué la Definición es la Dada

Empecé a preguntarme por qué la definición fue dada. Me di cuenta de que en las parcelas en las que yo había hecho, no hubo interacción entre el $\mathrm{W}_{\text{green}}$$\mathrm{W}_{\text{blue}}$. He considerado la posibilidad de aumentar el dominio para incluir el origen. Aquí es $|\mathrm{W}(z+1/e)|$ más de un dominio más grande, todavía se centra en $-\frac1e$:

Este se ve bastante mucho la misma que antes, cuando se mira a lo largo del eje real negativo. Sin embargo, vemos la razón para la definición de las ramas, como se hace en Mathematica, Maple, y el documento citado en la pregunta si miramos a lo largo de la real positiva del eje:

Visto desde esta dirección, vemos que tanto el azul de la hoja ($\mathrm{W}_1$) y el color verde de la hoja ($\mathrm{W}_{-1}$) pasar sin problemas a través del eje real positivo.

Sin embargo, como puede verse en el diagrama de arriba, esta, esto significa que tanto el azul y verde hoja toque el punto de ramificación en los diferentes lados; $\mathrm{W}_1$ (azul) en el negativo imaginario lado y $\mathrm{W}_{-1}$ (verde) en el positivo imaginario lado.

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Resumen

$\mathrm{W}_0$, $\mathrm{W}_1$, y $\mathrm{W}_{-1}$ se definen a ser suave, cerca de la real positiva del eje. A lo largo del eje real negativo, en la rama de corte, las hojas son lisas, si nos fijamos en las transiciones. A medida que nos desplazamos hacia la izquierda alrededor del punto de ramificación, $-\frac1e$, podemos ver el verde de la hoja ($\mathrm{W}_{-1}$) el descenso, pasando por el azul de la hoja ($\mathrm{W}_1$), a continuación, pasar a través de la rama de corte para convertirse en la hoja roja ($\mathrm{W}_0$). La hoja roja ( $\mathrm{W}_0$ ), a continuación, asciende a convertirse en el azul de la hoja ($\mathrm{W}_1$) después de pasar a través de la rama cortada. El azul de la hoja ( $\mathrm{W}_1$ ), a continuación, pasa a través de la hoja verde a lo largo del eje real. Por desgracia, el punto de ramificación, $-\frac1e$, se encuentra a lo largo de la rama cortada. Por lo tanto, las hojas de ambos $\mathrm{W}_1$ (en el negativo imaginario lado) y $\mathrm{W}_{-1}$ (en positivo imaginario lado) touch $-\frac1e$.