Euclides ' s elementos falta axioma de ejemplos M. Pasch

Question

En La Experiencia Matemática, Edición de Estudio por Philip J. Davis y Reuben Hersh, y Elena Anne Marchisotto que los estados págs. 175-176:

Justo lo que constituye la "rectitud" de la línea recta? Es indudable que hay más en esta noción de lo que sabemos y más de lo que podemos expresar en palabras o fórmulas. Aquí está un ejemplo de este "más". Supongamos que $a$, $b$, $c$, $d$ cuatro son los puntos en una línea. Supongamos $b$ entre $a$$c$, e $c$ entre $b$$d$. Entonces, ¿qué podemos concluir acerca de $a$, $b$, y $d$? No le tomará mucho tiempo a la conclusión de que la $b$ debe estar entre $a$$d$.

Este hecho, sorprendentemente, no puede ser probado de Euclides los axiomas de; tiene que ser añadido como un axioma de la geometría. Esta omisión de Euclides fue el primero en notar 2000 años después de Euclides, por M. Pascua en 1882! Por otra parte, existen importantes teoremas de Euclides, cuya completar la prueba requiere el axioma de Pasch; sin ella, las pruebas no son válidas.

Ver páginas 21-22 para una descripción de la Pascua del axioma y una imagen de la Pascua de los vinculados seminario de diapositivas: StanfordLogicSeminarApril2014.pdf

De la wikipedia: el axioma de Pasch

Una versión más informal de el axioma es a menudo visto:

Si una línea, no se que pasa a través de cualquier vértice de un triángulo, cumple con uno de los lados del triángulo, a continuación, se une a otro lado.

Yo quería saber qué teoremas en los Elementos que se consideran en el peor de forma que, como consecuencia de Pascua falta axioma? También han habido más axiomas de desaparición como Paschs?

Answer 1

Algo sorprendente acerca de los Elementos de Euclides es que se han mantenido a pesar de no cumplir con las normas de la moderna axiomatizations. Parece Euclides tuvo una excelente intuición, y parece que lo ha entendido la Regla #1 de las Matemáticas: Nunca demostrar la falsedad de declaraciones.

A través de los siglos ha habido un aumento de la comprensión de lo que falta en Euclides, y varios cada vez más refinadas que las actualizaciones de los Elementos de Euclid. Mi entendimiento es que fue Hilbert, quien escribió la primera totalmente moderno axiomatization de la geometría plana Euclidiana. Hay excelentes cuentas de este en los últimos libros de texto. Para un tratamiento completo ver Hartshorne del libro "la Geometría de Euclides y más Allá", y por un breve pero concisa cuenta ver Stillwell de las "Cuatro Pilares de la Geometría".

He aquí una breve lista de elementos que faltan, en ningún orden en particular de la lógica de la dependencia.

• Un axiomatization de la estructura de orden o "entre" de la estructura a lo largo de las líneas. Pascua del axioma es parte de esto. Es necesario en muchos de los argumentos en los Elementos, en donde el concepto de "entre-ness" se invoca de forma intuitiva.
• Un axioma de completitud de algún tipo. Euclides del primer resultado, la construcción de un triángulo equilátero, depende de manera intuitiva en la existencia de un punto de intersección entre dos círculos de igual radio que pasa a través de cada uno de los otros centros. Esto, a su vez, depende de algún tipo de integridad (en la moderna geometría de coordenadas términos, podríamos decir que al menos una de las necesidades de soluciones de ecuaciones cuadráticas con los no-discriminante negativo).
• Un axiomatization a la rigidez de movimientos. Euclides hace uso intuitivo de reflexiones, traslaciones y rotaciones de todo el lugar, por ejemplo en la configuración de triángulo congruencia teoremas tales como SAS.