Dos matrices cuadradas $A,\ B$ son semejantes si $\exists P : PAP^{-1} = B$. Con el fin de encontrar $P$ dos $A,\ B$ uno puede intentar solucionar $PA-BP = 0$. Me ha funcionado de esta ecuación para abstracto $3 \times 3$ matrices:
$A = \left(\begin{matrix}a_{00} & a_{01} & a_{02}\\a_{10} & a_{11} & a_{12}\\a_{20} & a_{21} & a_{22}\end{de la matriz}\right)\ B = \left(\begin{matrix}b_{00} & b_{01} & b_{02}\\b_{10} & b_{11} & b_{12}\\b_{20} & b_{21} & b_{22}\end{de la matriz}\right)\ P = \left(\begin{matrix}p_{00} & p_{01} & p_{02}\\p_{10} & p_{11} & p_{12}\\p_{20} & p_{21} & p_{22}\end{de la matriz}\right)$
Si uno considera $3 \times 3$ matrices como vectores de a $9$ dimensiones de espacio vectorial, utilizando la siguiente matriz de expresiones:
$PA \mapsto \left(\begin{matrix}a_{00} & a_{10} & a_{20} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\a_{01} & a_{11} & a_{21} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\a_{02} & a_{12} & a_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & a_{00} & a_{10} & a_{20} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & a_{01} & a_{11} & a_{21} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & a_{02} & a_{12} & a_{22} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{00} & a_{10} & a_{20}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{01} & a_{11} & a_{21}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{02} & a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p_{00}\\p_{01}\\p_{02}\\p_{10}\\p_{11}\\p_{12}\\p_{20}\\p_{21}\\p_{22}\end{matrix}\right)$
$BP \mapsto \left(\begin{matrix}b_{00} & 0 & 0 & b_{01} & 0 & 0 & b_{02} & 0 & 0\\0 & b_{00} & 0 & 0 & b_{01} & 0 & 0 & b_{02} & 0\\0 & 0 & b_{00} & 0 & 0 & b_{01} & 0 & 0 & b_{02}\\b_{10} & 0 & 0 & b_{11} & 0 & 0 & b_{12} & 0 & 0\\0 & b_{10} & 0 & 0 & b_{11} & 0 & 0 & b_{12} & 0\\0 & 0 & b_{10} & 0 & 0 & b_{11} & 0 & 0 & b_{12}\\b_{20} & 0 & 0 & b_{21} & 0 & 0 & b_{22} & 0 & 0\\0 & b_{20} & 0 & 0 & b_{21} & 0 & 0 & b_{22} & 0\\0 & 0 & b_{20} & 0 & 0 & b_{21} & 0 & 0 & b_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p_{00}\\p_{01}\\p_{02}\\p_{10}\\p_{11}\\p_{12}\\p_{20}\\p_{21}\\p_{22}\end{matrix}\right)$
la ecuación a resolver puede ser expresado como: $$ (I \otimes A^t - B \otimes I)p = 0, $$
Donde $\otimes$ representa el producto de Kronecker de las matrices cuadradas y $I$ es la matriz identidad. La pregunta es si esto puede ser demostrado por arbitrario de dimensiones?
