Respuestas
¿Demasiados anuncios?La afirmación es falsa, por ejemplo, $$n=2\Longrightarrow n^4+4n^2+11=16+16+11=43, que no es un múltiplo de 16. Controlar su expresión.
Ahora, si n=2k+1 es impar, entonces la afirmación es verdadera, desde entonces $$n^4+4n^2+11=8k(k+1)(2k^2+2k+3)+16 y desde \,8k(k+1)=0\pmod {16}\, no importa de qué % de paridad \,k\,tiene, hemos terminado.
Si 2|k=>16|n^4 4|n^2=>16|(n^4+4n^2)=>n^4+4n^2+11≡11\pmod{16}
Otra cosa
n es extraño=2k+1(por ejemplo), n^2=(2k+1)^2=8\cdot\frac{k(k+1)}{2}+1≡1\pmod{8}=>8|(n^2-1)
(i)Así, n^4+4n^2+11=(n^2-1)^2+6(n^2-1)+16≡0\pmod{16} si n es impar.
(ii)Cuando n es impar, 2|(n^2+1) 8|(n^2-1)(ya probado) =>2\cdot8|(n^2-1)\cdot(n^2+1)=>16|(n^4-1)
(iii)Cuando n es impar, n^2≡1\pmod{8}=1+8m(por ejemplo),
Por eso, n^4=(n^2)^2=(1+8m)^2=1+16m+64m^2≡1\pmod{16}
Así que, usando (ii) o (iii), n^4≡1\pmod{16} n^2≡1\pmod{8}=>4n^2≡4\pmod{32} si n es impar,
Por eso, n^4+4n^2+11≡1+4+11\pmod{16}≡0\pmod{16} si n es impar.
Como alternativa, el uso de Carmichael Función, \lambda(16)=\frac{\phi(16)}{2}=4 \lambda(8)=\frac{\phi(8)}{2}=2
Por eso, n^4≡1\pmod{16} n^2≡1\pmod{8}=>4n^2≡4\pmod{32} si (16,n)=1 es decir, n es impar,
Por eso, n^4+4n^2+11≡0\pmod{16} si n es impar(como (ii)).
Si m es impar, entonces m^2 \equiv 1 (mod 8), desde (2a+1)^{2} = 4(a^{2}+a) +1 y a^2 +a es siempre incluso cuando a es un entero. Si h es un entero congruente a 3 (mod 8), entonces es divisible por h^{2}-9 = (h-3)(h+3) 16. Cuando n es impar, tenemos n^{2}+2 \equiv 3 (mod 8), así (n^{2}+2)^{2} \equiv 9 (mod 16), así n^{4} + 4n^{2} + 11 \equiv 9 +7 \equiv 0 (mod 16).