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4 votos

Prueba %#% es de n4+4n2+11 #%

<blockquote> <p>Si n es un entero, demuestra que n4+4n2+11 es de la forma 16k.</p> </blockquote> <p>Y fui algo así como:</p> <p>n4+4n2+11=n4+4n2+165=(n4+4n25)+16=(n2+5)(n21)+16</p> <p>Por lo tanto, ahora tenemos que demostrar que el producto de (n2+5) y (n21) es un múltiplo de 16.</p> <p>Pero, ¿cómo podemos hacerlo? Si alguien tiene alguna idea de cómo puedo mejorar mi solución, por favor compártela aquí.</p>

11voto

DonAntonio Puntos 104482

La afirmación es falsa, por ejemplo, $$n=2\Longrightarrow n^4+4n^2+11=16+16+11=43, que no es un múltiplo de 16. Controlar su expresión.

Ahora, si n=2k+1 es impar, entonces la afirmación es verdadera, desde entonces $$n^4+4n^2+11=8k(k+1)(2k^2+2k+3)+16 y desde \,8k(k+1)=0\pmod {16}\, no importa de qué % de paridad \,k\,tiene, hemos terminado.

11voto

Gigili Puntos 3240
<ul> <li>n=2k:</li> </ul> <p>n^4+4n^2+11\\=(n^2-1)(n^2+5)+16\\=(4k^2-1)(4k^2+5)+16\\=16k'^4+16k''^2+11\\=16k+11</p> <p>Que no es 16k.</p> <ul> <li>n=2k+1:</li> </ul> <p>$$n^4+4n^2+11\\=(n^2-1)(n^2+5)+16\\=(4k^2+4k)(4k^2+4k+6)+16\\=8\underbrace{k(k+1)} _ {2 k} (2 k ^ 2 +2 k +3) +16 </p> <p>Que es 16k.</p>

2voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

Si 2|k=>16|n^4 4|n^2=>16|(n^4+4n^2)=>n^4+4n^2+11≡11\pmod{16}

Otra cosa

n es extraño=2k+1(por ejemplo), n^2=(2k+1)^2=8\cdot\frac{k(k+1)}{2}+1≡1\pmod{8}=>8|(n^2-1)

(i)Así, n^4+4n^2+11=(n^2-1)^2+6(n^2-1)+16≡0\pmod{16} si n es impar.

(ii)Cuando n es impar, 2|(n^2+1) 8|(n^2-1)(ya probado) =>2\cdot8|(n^2-1)\cdot(n^2+1)=>16|(n^4-1)

(iii)Cuando n es impar, n^2≡1\pmod{8}=1+8m(por ejemplo),

Por eso, n^4=(n^2)^2=(1+8m)^2=1+16m+64m^2≡1\pmod{16}

Así que, usando (ii) o (iii), n^4≡1\pmod{16} n^2≡1\pmod{8}=>4n^2≡4\pmod{32} si n es impar,

Por eso, n^4+4n^2+11≡1+4+11\pmod{16}≡0\pmod{16} si n es impar.


Como alternativa, el uso de Carmichael Función, \lambda(16)=\frac{\phi(16)}{2}=4 \lambda(8)=\frac{\phi(8)}{2}=2

Por eso, n^4≡1\pmod{16} n^2≡1\pmod{8}=>4n^2≡4\pmod{32} si (16,n)=1 es decir, n es impar,

Por eso, n^4+4n^2+11≡0\pmod{16} si n es impar(como (ii)).

1voto

Geoff Robinson Puntos 17610

Si m es impar, entonces m^2 \equiv 1 (mod 8), desde (2a+1)^{2} = 4(a^{2}+a) +1 y a^2 +a es siempre incluso cuando a es un entero. Si h es un entero congruente a 3 (mod 8), entonces es divisible por h^{2}-9 = (h-3)(h+3) 16. Cuando n es impar, tenemos n^{2}+2 \equiv 3 (mod 8), así (n^{2}+2)^{2} \equiv 9 (mod 16), así n^{4} + 4n^{2} + 11 \equiv 9 +7 \equiv 0 (mod 16).

1voto

David HAust Puntos 2696

Sugerencia \rm\: n\,impar \rm\,\Rightarrow 2\:|\:n^2!+!5,\ 8\:|\:n^2!-!1!\:\Rightarrow\:16\:|\:(n^2!+!5)(n^2!-!1)\ \rm\:mod\ 8!:\ odd^2 \equiv {\pm1,\pm3}^2\equiv 1

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