¿Por qué los números racionales no son continuos?

Question

Estoy tratando de entender por qué los números racionales no son continuos.

Dados dos números racionales $a$ y $b$ Siempre puedo encontrar un número. $c = \frac {a+b}{2}$ entre estos dos números. Así que cuando trazo los números racionales como una línea, esta es una línea continua (a diferencia de los números naturales, que obviamente no son continuos). ¿Por qué no son continuos?

Answer 1

Tienes toda la razón en que la noción de agujeros depende de lo que puedas poner entre tus números. Siempre hay un conjunto mayor. Los enteros están contenidos en los racionales, que a su vez están contenidos en los números reales, pero éstos mismos pueden considerarse con muchos agujeros, llamados números reales no estándar (por ejemplo, infinitesimales).

Para dar sentido a las ideas de "agujeros" y "estar sin agujeros", hay que definir cuál debe ser el conjunto total de sus números. Si dices que quieres todos los racionales, está bien. Pero hay propiedades que sólo se cumplen con conjuntos de números más grandes.

Por ejemplo, se puede construir fácilmente un triángulo rectángulo con catetos de longitud $1$ . Entonces la longitud de la hipotenusa no será un número natural como $1$ ni siquiera un número racional. Es $\sqrt2$ un agujero en los números racionales. Lo mismo ocurre si se quiere medir la circunferencia de un círculo con radio racional.

En cuanto a la afirmación de su libro, $\sqrt2$ y $π$ son probablemente los números que quieren en su recta numérica. Sin embargo, lo que es exactamente el conjunto de números en la recta numérica depende de cómo se defina. No hay una forma correcta o incorrecta. Sólo hay más y menos útiles para hacer matemáticas.

En el análisis ahora, todavía hay más cosas que le gustaría describir con números. Por ejemplo, quieres encontrar los ceros de una función. Para los números reales se cumple la siguiente propiedad:

Dejemos que $f: ℝ→ℝ$ sea una función continua y $a<b$ números reales tales que $f(a) < 0 < f(b)$ . Entonces hay un $x$ entre $a$ y $b$ tal que $f(x) = 0$ .

Esto no es cierto para los números racionales. La razón es que siempre se puede hacer el intervalo $(a, b)$ cada vez más pequeño, manteniendo $f(a) < 0 < f(b)$ y por lo tanto se acerca al cero de $f$ . Así se obtiene una secuencia de números (racionales o reales) $(a_n)_{n\inℕ}$ que es Cauchy (es decir, la distancia $\vert a_m-a_n\vert$ se vuelve arbitrariamente pequeño para $m$ y $n$ suficientemente grande). Pero sólo en los números reales siempre habrá algún límite $x$ contenida en todos los intervalos $(a_n, b_n)$ . Esta propiedad se llama integridad .

Answer 2

Prefiero mantener dos piezas de la jerga estándar separadas, y distinguir el ser un continuo y ser continuo .

La continuidad es una propiedad de las funciones. Hay una explicación estándar "épsilon-delta" de la noción de función continua. Y la función $x^2\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ (por ejemplo) definida sobre los racionales es tan buena función continua como su homóloga definida sobre los reales.

Así que puedes tener funciones continuas definidas sobre racionales; pero los racionales no son un continuo. ¿Por qué no lo son? La noción de continuo tiene sus raíces en la geometría, y -en los términos más básicos- el pensamiento fundamental es que ciertas construcciones geométricas, incluso repetidas indefinidamente, tendrán resultados determinados. En particular, si "sumamos" líneas finitas poniéndolas de extremo a extremo, entonces, siempre que el resultado esté acotado, se trata de otra línea finita (¡qué trillado suena eso!).

Pero cuando aritmética la geometría, esto se convierte en el pensamiento de que, para los números aptos para medir líneas en un verdadero continuo, cualquier secuencia creciente de números-aptos-para-medir-una-línea que esté acotada por encima debe converger a un límite que es otro número-apto-para-medir-una-línea. Ahora bien, una secuencia de racionales acotada por encima no tiene por qué converger a un límite racional (puede converger a $\sqrt{2}$ ). Por el contrario, una sucesión acotada de reales convergerá a un límite real. Así que los reales forman el análogo de un continuo geométrico y los racionales no.

(A veces se dice que formar un continuo es una cuestión de no ser gappy . Pero la noción de "gappiness" es un instrumento demasiado contundente en este caso. Después de todo, los racionales son por supuesto denso es decir, entre dos cualesquiera hay otro, por lo que en un buen sentido no son gappy. Por lo tanto, hay que distinguir entre la falta de vacíos, que significa densidad, y la falta de vacíos, que significa ser un continuo).

Answer 3

Usted argumenta que los enteros "no son continuos", lo que significa que son un desconectado conjunto. Por el mismo razonamiento los números racionales son desconectado , ver http://www.proofwiki.org/wiki/Rational_Numbers_are_Totally_Disconnected/Proof_1 .

Answer 4

Tal vez pueda ayudar a ordenar algo de la terminología. Un conjunto linealmente ordenado se llama continuo lineal si no tiene huecos ni saltos. A saltar es un corte en el que ambos lados tienen puntos finales; una ordenación sin saltos se llama denso . A brecha es un corte en el que ninguno de los lados tiene un punto final; una ordenación sin huecos se llama completa .

Los números naturales tienen saltos, pero no huecos; son completos, pero no densos. Los números racionales tienen huecos, pero no saltos; son densos, pero no completos. Los números reales no tienen ni huecos ni saltos; son un continuo.

Algunos autores (y traductores de otras lenguas) utilizan el adjetivo inglés "continuous" para describir un continuo. Como señalan algunos de los comentarios y otras respuestas, este uso puede ser confuso, ya que el adjetivo "continuo" también se utiliza para las funciones, y el significado no es exactamente el mismo.

Answer 5

Tenemos aquí dos conceptos "intuitivos" de "tener no lagunas", pero no son lo mismo, cuando se definen con rigor.

(1) Una función $f$ es continuo en algún momento $c$ de su dominio si el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $c$ existe y es igual a $f(c)$ [fórmula matemática habitual...].

La función $f$ se dice que es continua si lo es en cada punto de su dominio. Si el punto $c$ en el ámbito de $f$ no es un punto límite del dominio, entonces esta condición es vacuamente cierta, ya que $x$ no puede acercarse $c$ a través de valores no iguales $c$ . Así, por ejemplo, toda función cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros es continua.

Como se ha dicho anteriormente, se puede definir una función $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ (por ejemplo, el $id$ donde $id(x)=x$ ) y no hay ningún problema en aplicar la definición habitual de continuidad a esa función.

(2) A continuo lineal es un conjunto linealmente ordenado $S$ que está densamente ordenado, es decir, que entre dos miembros cualesquiera hay otro, y que "carece de vacíos" en el sentido de que todo subconjunto no vacío con un límite superior tiene un límite superior mínimo.

La línea real es un continuo lineal bajo la ordenación estándar <. En concreto, la recta real está ordenada linealmente por <, y esta ordenación es densa y tiene la propiedad de límite superior mínimo.

El conjunto $\mathbb{Q}$ de números racionales, que es un subconjunto denso contable de $\mathbb{R}$ no tiene la propiedad de límite inferior; ¡en esta "vista" tiene huecos!