Deje $\mathbb Z$ ser el anillo de los enteros, $p$ un primer y $\mathbb F_p = \mathbb Z/p\mathbb Z$ el campo con $p$ elementos. Deje $x$ ser indeterminado. Conjunto $R_1 = \mathbb F_p[x]/(x^2-2)$, $R_2 = \mathbb F_p[x]/(x^2-3)$. Determinar si los anillos de $R_1$ $R_2$ son isomorfos en cada uno de los siguientes casos:
(a) $p = 2$
(b) $p = 5$
(c) $p = 11$
Estoy bastante segura de mi respuesta a (c), pero no es muy seguro acerca de (a) y (b). Cualquier comentario será de gran utilidad para el Doctorado Quals prep. Gracias.
Intento de Solución:
(c) Cuando $p = 11$, $x^2 - 2$ es irreductible, sino $x^2 - 3$ es reducible [$2$ es una ecuación cuadrática nonresidue $\bmod 11$; $3$ es una ecuación cuadrática de residuos]. Por lo $(x^2 - 2)$ es un ideal maximal y por lo tanto, $R_1$ es un campo, mientras que $R_2$ no lo es. Así que no son isomorfos.
(b) Cuando $p = 5$ ambos $x^2 - 2$ $x^2 - 3$ son irreductibles, por lo tanto $R_1$ $R_2$ son campos. Como cualquier polinomio en $R_1$ o $R_2$ grado $\ge2$ es igual a algún polinomio de grado $0$ o $1$, efectivamente, los elementos de $R_1$ $R_2$ puede ser representado por $a_0 + a_1x$ donde $a_0, a_1 \in \{0,1,2,3,4\}$. Por lo $R_1 = R_2 =$ campo finito con $5^2$ elementos, es decir, son isomorfos.
(a) Cuando $p=2$ ambos $x^2 - 2 = x^2$ $x^2 - 3 = x^2-1$ son reducibles. Así que a pesar de $R_1$ $R_2$ cada uno puede ser representado por $a_0 + a_1x$ donde $a_0, a_1 \in \{0,1\}$. No estoy seguro de si cada uno de ellos es isomorfo a $\mathbb Z/4\mathbb Z$ o el Klein $4$-grupo.
