Divisibilidad de$10^n-1$

Question

Rápido calentamiento de ejercicio para todo el mundo (no spoilers para los demás, por favor) ;)

Un número de la forma $10^n-1=\underbrace{9999...9}_{n\text{ times}},$ donde $n$ es un entero positivo, nunca será divisible por $2$ o $5.$

Hay otros números primos que los números de esta forma nunca se divisible por?

Nota: agradezco a todas las soluciones y voy a votar hasta las respuestas que utilizan un enfoque diferente a la mía :)

Actualización: Si consideramos esto un reto, por FAVOR, no leer los comentarios.

Answer 1

En general, dado un entero base $b \geq 2$, el número de $b^n - 1$, $n$ un entero positivo, nunca es divisible por cualquier prime $p$ que divide $b$.

Sin embargo, para cualquier otro prime $p$, por Fermat poco teorema, si $n$ es un múltiplo de a$p - 1$, $b^{p - 1} - 1$ es divisible por $p$. Además, todos estos números son divisibles por $b - 1$.

Por ejemplo, en duodecimal, vemos que $12^n - 1$ nunca es divisible por $2$ o $3$. Sin embargo, $12^4 - 1 = 20735$, $12^8 - 1 = 429981695$, $12^{12} - 1 = 8916100448255$, etc., son todos divisibles por $5$; $12^6 - 1 = 2985983$, $12^{12} - 1 = 8916100448255$, etc., son todos divisibles por $7$. También vemos que todos estos números son divisibles por $11$, están escritos como un montón de $\textrm{B}$'s, o $\textrm{b}$ si usted lo prefiere.

De manera similar, en hexadecimal usted verá que todos los números de la forma $16^n - 1$ (que en binario se representa por $4n$ en bits) es divisible por $15$.

Answer 2

No.

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Según el pequeño teorema de Fermat, si$p$ es un número primo que no divide$10,$ entonces$$p \text{ divides } 10^{p-1} - 1$ $

La prueba sigue.