Propagador de la ecuación de Klein-Gorden.

Question

¿Esta integral converge?

Mi pregunta está relacionada con esta: Libre de partículas de propagación de la amplitud de cálculo

Estoy leyendo el libro de Peskin y Schroesder. En la segunda página de su capítulo 2, se estima que el propagador de la Klein-Gorden ecuación. El paso final del cálculo para calcular una integral de la forma

$$\int_0^\infty \mathrm{d}p\;p\;\sin(px)e^{-\mathrm{i}t\sqrt{p^2+m^2}}.$$

Mi pregunta es muy simple: esta integral converge en el primer lugar? Tenga en cuenta que el integrando es una función oscilante cuya amplitud crece sin límite. Si tomamos $m=0$, luego de que la integral no converge.

De hecho, puedo reproducir su resultado muy fácilmente (es decir, el $e^{-m\sqrt{x^2-t^2}}$ comportamiento). Pero no estoy seguro de si mi cálculo tiene sentido porque no sé si la integral tiene un valor finito.

Sé que esta integral se puede convertir en un bucle integral en el plano complejo, y, a continuación, ser estimada a partir de la fase estacionaria del método. Pero dado que la amplitud de el integrando no vaya a cero uniformemente en el infinito, me siento un procedimiento de este tipo puede no ser válida.

Podemos multiplicar un factor de $e^{-\epsilon p}$ ($\epsilon>0$) para el integrando de hacer converger, pero es que no estamos en el cálculo de lo que queríamos calcular en el principio, ¿verdad?

Entonces, si la integral no converge por sí mismo, ¿cómo debo hacer sentido de que el resultado en la Peskin y Schroesder libro? Estoy bastante confundido por esto. Gracias por las sugerencias!

Answer 1

La integral no converge por sí mismo, por exactamente la razón por la que usted ha mencionado. Pero no es necesario! La razón de ser, cuando se utiliza esta integral en un contexto físico en realidad, no se refiere a la definición matemática de la integral de un valor real de la función. Estás en lugar de referirse a exactamente la idea que se consigue al introducir el factor limitante en la actualidad, incluso un "infinito" sistema siempre está vinculado de alguna manera (por ejemplo, cantidad finita de energía total $\Rightarrow$ límite superior para el impulso a ser considerado). Es sólo que usted está interesado en el caso de que estos límites están tan lejos que sus valores exactos no importa, y eso es exactamente lo que usted calcule el momento de introducción de algunos $e^{-\epsilon|p|}$ factor y fuera de la integral de tomar el límite de $\epsilon\to 0$.