Producir un campo con$7^3$ elementos

Question

La producción de un campo con $7^3=343$ elementos.

Bueno, así que si puedo encontrar un polinomio irreducible sobre $\mathbb Z_7$ grado $3$ entonces yo te lo han hecho.

Ahora, ya que es de grado $3$ todo lo que tengo que hacer es comprobar lineal de los factores por la búsqueda de un grado $3$ polinomio sin raíces. Yo sólo podía adivinar y comprobar, pero me preguntaba si había una manera metódica para hacer esto, tal vez hay una idea que me estoy perdiendo. Gracias!

Answer 1

$x^3\equiv\pm1\bmod7$ para todos $x\in\{1,\dots,6\}$ . Por lo tanto, elegimos $x^3+2$ como el polinomio irreducible.