Ejemplos de no conmutativa análogos fuera de las álgebras de operadores?

Question

Theo pregunta me pregunto si hay otros "no conmutativa análogos" fuera de las álgebras de operadores. Algunos no conmutativa análogos de las álgebras de operadores incluyen:

• Un $C^\ast$-álgebra es un no conmutativa espacio topológico (cf. el Gelfand transformar).
• El multiplicador de álgebra de un nonunital $C^\ast$-álgebra no conmutativa es la de Stone-Cech compactification.
• Un espectral triple es un no conmutativa colector (agregar algunos datos adicionales a la espectral de la triple a obtener un no conmutativa de Riemann colector cf. arXiv:0810.2088).
• Un álgebra de von Neumann es un no conmutativa medir el espacio.

Hay otros buenos ejemplos? Si conoces más en las álgebras de operadores, que es demasiado grande.

EDIT: estas álgebras debe ser considerado como diversas funciones de los espacios para no conmutativa espacios como por @Yemon la respuesta. Voy a dejar el texto como está, a menos que existan solicitudes para otra edición.

Answer 1

Quantales son otro tipo de no conmutativa espacio.

Observación general: se dijo Que en los otros dos respuestas que "una buena categoría de espacios deben ser auto dual". Si por "auto dual" que significa "equivalente a su opuesto categoría", entonces esto debe más bien no ser el caso para una categoría de espacios. Doble los gatos los gatos de los espacios son más bien de carácter algebraico, una razonable definición de ser "de carácter algebraico" es ser "localmente presentable". Pero un teorema de Gabriel/Ulmer, afirma que si el frente de un local presentable gato es localmente presentable, de nuevo, a continuación, el gato es preorder (es decir, estamos en un caso trivial) - esto puede ser visto como una afirmación matemática que refleja la dualidad entre el álgebra y la geometría

Answer 2

No hay respuestas, tengo miedo, pero algunas observaciones.

Si me pueden disfrutar de una de mis manías: $C^*$- álgebra es en mi humilde opinión no no conmutativa un espacio topológico. Lo que podría ser, dependiendo de cuán profundamente ha bebido de la fuente de la Sabiduría, es el anillo de coordenadas de un NC espacio topológico (las correspondencias son contravariante). De hecho, si uno intenta hacer cualquier NCG entonces, este tipo de inversión de las flechas se utilizan por todo el lugar, e..g K^* de $C(X)$ K_* de $X$, cíclico cohomology de álgebras de realmente ser cíclico de la homología de los espacios, y así sucesivamente. Podría ser una buena categórica explicación de por qué una buena categoría de "espacios" deben ser dual, pero no recuerdo haber visto uno.

Para ser un poco más serio, se me hace más incómodo por el abandono con el que el NC diccionario obtiene blandió. (Connes' axiomas para espectral triples parece, desde mi limitada de la lectura, para ser realmente muy sutil; el hecho de que el trabajo bien esconde una gran cantidad de trabajo que va a elegir la correcta definición.) A mí me parece un poco fácil tomar alguna clase de álgebras conmutativas asociada a una forma geométrica o topológico widget, ampliar la clase para incluir álgebras no conmutativas, y luego dicen estar haciendo no conmutativa widgetry. Sin la intención de restarle importancia a la muy real y muy interesante trabajo realizado por varios grupos; sólo a la precaución que (en mi humilde opinión) que hay un montón de trabajo encubierto que se ha hecho para hacer que el derecho de las definiciones.

OK, una sugerencia. Como creo que he dicho en el otro post/tema, hay un libro por Nik Weaver donde se intenta desarrollar una aproximación a los espacios de funciones de Lipschitz sobre la métrica de los espacios, lo que le permite hacer algún tipo de "análisis no conmutativa métrica espacios". Lamentablemente no recuerdo en este momento, ¿qué relación, si alguna, que esto tiene con Rieffel del programa de quantum métrica espacios. La idea básica es muy similar a la usada por los Connes et al, pero con un potencial más amplio de la aplicación ya que no estamos imponiendo cualquier (NC) liso de la estructura.

Answer 3

Hay una noción de no-conmutativa de la resolución de una singularidad (en el sentido de la propiedad conmutativa de geometría algebraica). Consulte la sección 5 de este ICM hablar por Bondal y Orlov.

El siguiente es un ejemplo sencillo.

Deje $G$ ser un subgrupo finito de $SL_n$ actuando en $\mathbb C^n$ en la forma habitual. Por lo $G$ también actúa sobre el anillo de coordenadas $R=\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$. Si lo desea, puede considerar la posibilidad de $R^G$, el invariante de la sub-anillo. Este anillo puede ser singular, por lo que puede resolver la singularidad.

Un agradable no conmutativa alternativa para hacerlo es considerar $R*G$, el skew anillo de grupo. Los elementos de $G$ forma libre $R$-base aditiva, al igual que para el grupo habitual de anillo. Sin embargo, la multiplicación de la regla está dada por:

$$ (r*g)(s*h)=(r\, g(s))*(gh)$$

El sesgo anillo de grupo es un "no-conmutativa crepant resolución" de la singularidad. Consulte este artículo de Michel van den Bergh, de los cuales el de arriba es el Ejemplo 1.1.

Parte de su "resolución" es el hecho de que $R*G$ ha finito homológica dimensión (que es un no-conmutativa manera de pensar de la suavidad).

Answer 4

En un trabajo reciente, Alexei Pirkovskiy define una clase de álgebras de Frechet tal que la subclase de álgebras conmutativas corresponde a Stein complejos colectores (en virtud de un técnico de la asunción de la finitud de la incrustación de la dimensión). Esto puede ser visto como no conmutativa de análisis complejo. Enlace: http://arxiv.org/abs/1204.4936

Answer 5

Hay cuántica grupos no conmutativos análogos de local topológicos compactos grupos (no conmutativo en el sentido de la topología, no en el sentido de estructura de grupo). Aquí es el artículo de Wikipedia sobre ellos.