Buscar todas las funciones Tal que Para todos .

Question

Encontrar todas las funciones $f\colon \Bbb R\to \Bbb R$ tal que $f(1-f(x)) = x$ para todos los $x \in \Bbb R$.

Esta es una pregunta de la olimpiada nacional en Alemania 2018.

Todo lo que puedo hacer es intentar con algunas de las funciones lineales como $f(x) = x+1$

Soy muy bueno en matemáticas, pero no sé cómo abordar los problemas donde tengo que encontrar una función en particular. Hay un algoritmo específico que debo usar?

Answer 1

Esta es una respuesta parcial.

Cualquier solución de la ecuación funcional debe ser bijective.

De inyectividad es fácil: $$f(x)=f(y) \quad \Rightarrow \quad 1-f(x)=1-f(y) \quad \Rightarrow \quad f(1-f(x))=f(1-f(y)) \quad \Rightarrow \quad x=y$$

Surjectivity es aún más fácil: eso es porque $x=f(1-f(x))= f(\mathrm{something})$.

Si buscamos "agradable" de las funciones, podríamos empezar buscando continua. Sin embargo, no hay ninguna función continua que resuelve $f(1-f(x))=x$.

De hecho, si $f$ es continuo, $f$ debe ser monótona (que es debido a que se bijective!). Supongamos que $f$ es cada vez mayor. Entonces, para $x<y$ tiene $$x<y \quad \Rightarrow \quad f(x)<f(y) \quad \Rightarrow \quad 1-f(x) > 1-f(y) \quad \Rightarrow \quad f(1-f(x)) > f(1-f(y))$$ which implies $x>y$. Una similar contradicción muestra que $f$ no puede estar disminuyendo.

Por lo tanto, no hay ninguna continuo de la solución.

Answer 2

con $g=1-f$, la ecuación es simplemente $$g(g(x))=1-x.$$ Destacar la importancia de la $(y,x)=(1/2,1/2)$ en la gráfica de $f$(e $g$) de las otras respuestas, establezca $h(x)=g(x+1/2)-1/2$, por lo que $h(0)=0$. Entonces podemos ver que

$$h(h(x)) = h\big(g(x+1/2)-1/2\big) = g(g(x+1/2)) -1/2 = 1-(x+1/2)-1/2 = -x,$$

Por lo $$h(h(x)) = -x.$$

Se sabe que esta ecuación tiene una solución en $\mathbb R$. Por otra parte, las soluciones a ambos problemas están en una correspondencia uno a uno a través de las anteriores transformaciones. Deshacer estas transformaciones, vemos que $$ g(x)=h(x-1/2)+1/2,$$ y, finalmente, $$ f(x) = 1/2 - h(x-1/2).$$ Mediante la modificación de la gráfica de esta gran respuesta por parte de alex.jordan, me produce una gráfica de una solución de $f$. En $\color{green}{light\ green}$ es la gráfica de $g=1-f$, y se puede comprobar que la gráfica es correcta, siguiendo una trayectoria como la $\color{lightblue}{light\ blue}$ un ($\color{lightblue}x\mapsto \color{green}g(\color{lightblue}x) \mapsto f(\color{green}g(\color{lightblue}x)) \overset{!}{=} \color{lightblue}x $.)

Answer 3

Como se solicita en la sección de comentarios voy a dar la solución, ya que se deriva, por un profesor de la mina. Él luchó para sí mismo y se fue hacia atrás y adelante varias veces hasta que por fin llegó la solución.

---

Primero de todo hemos tratado de averiguar si la función es invertible o no, por lo tanto la propiedad de $f(f^{-1}(x))=x$ va a ser muy útil aquí. Haciendo la suposición de $x_1\ne x_2$ e $f(x_1)=f(x_2)$ - en otras palabras, la función no es invertible - llegamos

$$1-f(x_1)=1-f(x_2)\Leftrightarrow f(1-f(x_1))=f(1-f(x_2))$$

y por el functinal ecuación obtenemos $x_1=x_2$ lo cual es una contradicción, por lo tanto la función es invertible.

Ahora aplicamos $f^{-1}$ a la funcional de la ecuación y así obtenemos

$$f^{-1}(x)=1-f(x)\Leftrightarrow \frac{f(x)+f^{-1}(x)}2=\frac12$$

que los estados que la media aritmética de la función y su inversa es igual a $1/2$ para todos los $x$. De aquí en adelante, mi maestro razonó que esto implica la función de $f$ es simétrica a la de la línea de $y=1/2$. Por lo tanto $f$ se define para todos los $x$ podemos razón de que hay puntos de la gráfica de $f$ dentro de la I. cuadrante y en el IV. cuadrante así. Ahora suponga un punto de $P$ en la gráfica de $f$ dentro de la I. cuadrante (por debajo de la línea de $y=1/2$ de lo contrario, usted tiene que trabajar dentro de la IV. cuadrante). Reflejar el punto en la línea $y=1/2$ e $P'$ acostará en $f^{-1}$. La creación de reflejo de nuevo esta vez en $y=x$ lleva al punto de $P''$ que de nuevo se encuentra en $f$. Por lo tanto, una rotación de noctámbulo grados en el punto de $S(1/2,1/2)$refleja el gráfico de $f$ sobre sí mismo. Haciendo este procedimiento de nuevo vamos a terminar en la gráfica de $f$ aswell. Por lo tanto, $f$ es también simétrica hacia el punto de $S$.

Por lo tanto considerar los puntos de $x_1,x_2$ que son simétricas hacia la $1/2$ ($1/2(x_1+x_2)=1/2$) lo que implica

$$\frac12-f(x_2)=-\frac12+f(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)+f(x_2)=1 \Leftrightarrow f(x)+f(1-x)=x$$

Adicionalmente $S$ sí es parte de $f$. Por lo tanto

$$f\left(\frac12\right)=f^{-1}\left(\frac12\right)\Leftrightarrow f\left(\frac12\right)=1-f\left(\frac12\right)\Leftrightarrow f\left(\frac12\right)=\frac12$$

Formulario de aquí en adelante, los principales pregunta sigue siendo: ¿hay alguna de las funciones que satisfacen esta ecuación funcional; la respuesta es sí. Mi maestro construye un muy raro pero comoquiera me se acaba de ir.

Comenzando con los dos casos

$$ f(x)=\begin{cases}\frac12x+\frac34&,\text{for }\frac12<x\le1\\-2x+\frac52&,\text{for }1<x\le\frac54\end{casos} $$

que cumplan la condición, ya que

$$f_1(1-f_2(x))=\frac12\left(1-\left(-2x+\frac52\right)\right)+\frac34=x$$

donde $f_1(x)$ denota la primera rama de la función $f$ e $f_2$ respectivamente en el segundo. El punto crucial es que la adición de $1$ a la negativa de la rama automáticamente los resultados en la otra rama. Al seguir estas relaciones obtuvo

$$ y_n=\begin{cases}\frac12x+\frac34&,\text{for }\frac32-\frac1{4^n}<x\le\frac32-\frac1{2\cdot4^n}\\-2x+\frac52&,\text{for }\frac32-\frac1{2\cdot4^n}<x\le\frac32-\frac1{4^{n+1}}\end{casos} $$

con $n\in\mathbb{N}$. No estoy muy seguro acerca de esta función, pero también debe proporcionar la solución de la función en el lado izquierdo de $S$ conectando los valores de $n\in\mathbb{Z}$. Hasta ahora tan bueno. Voy a subir las notas originales en algún lugar, así que usted puede mirar para sí mismo y entender lo que tal vez perdí ahora. Refiere a su seudónimo y ya que usted está pidiendo la solución a un alemán olimpiada pregunta supongo que son capaces de leer alemán.

---

Aquí el prometido de las notas originales lado $1$ y lado de la $2$.