¿Calcular la derivada de una función escalar con respecto a su argumento vectorial?

Question

Si $J$ es una función escalar de dos vectores $\boldsymbol{q}$ y $\boldsymbol{g}$ :

$$J(\boldsymbol{q},\boldsymbol{g})=\frac{\boldsymbol{g\cdot g}}{\boldsymbol{q\cdot q}}.$$

Cómo calcular la derivada $\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{q}}$ ?

Lo que he probado:

$$\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{q}}=\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{q}}\left(\frac{\boldsymbol{g\cdot g}}{\| \boldsymbol{q} \|^2} \right)=-2\|\boldsymbol{q}\|^{-3} \boldsymbol{g\cdot g}=-2 \|\boldsymbol{q}\|\:( \boldsymbol{g\cdot g}) \|\boldsymbol{q}\|^{-4}=-2\|\boldsymbol{q}\|\: (\boldsymbol{g\cdot g}) (\|\boldsymbol{q}\|^{2})^{-2}\\=-2\|\boldsymbol{q}\|\:( \boldsymbol{g\cdot g}) (\boldsymbol{q\cdot q})^{-2}.$$

Estoy seguro de que mi respuesta es incorrecta porque debería haber sido un vector en lugar de un escalar.

Para su referencia, la respuesta dada es

$$\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{q}}=-2\boldsymbol{q}( \boldsymbol{g\cdot g})/(\boldsymbol{q\cdot q})^2.$$

Gracias de antemano.

Answer 1

La derivada parcial de un escalar con respecto a un vector es un vector. Toma la derivada parcial respecto a cada elemento del vector y júntalos para obtener tu resultado. Suponiendo que los elementos de $q$ no dependen unos de otros ni de un parámetro común: $$\frac{\partial J}{\partial q_i}=\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{\boldsymbol{g\cdot g}}{\| \boldsymbol{q} \|_2^2} \right)=\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{\boldsymbol{g\cdot g}}{\sum_k q_k^2} \right)$$ Si $q$ y $g$ no dependen de un parámetro común, entonces $\boldsymbol{g\cdot g}$ no es más que una constante $$\frac{\partial J}{\partial q_i}=\boldsymbol{g\cdot g}\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{1}{\sum_k q_k^2 } \right)=-\boldsymbol{g\cdot g}\left({\sum_k q_k^2 }\right)^{-2}2q_i$$

$$\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{q}}=-2\boldsymbol{q}\frac{\boldsymbol{g\cdot g}}{\left(\boldsymbol{q\cdot q}\right)^2}$$ Espero que esto ayude