Prueba $\frac{a^2}{3^3}+\frac{b^2}{4^3}+\frac{c^2}{5^3} \ge \frac{(a+b+c)^2}{6^3}$

Question

Si $a,b,c \in \mathbb{R+, }$ Entonces demuestre que $$\frac{a^2}{3^3}+\frac{b^2}{4^3}+\frac{c^2}{5^3} \ge \frac{(a+b+c)^2}{6^3}$$

Mi intento:

Considere $$P=\frac{a}{3\sqrt{3}}+\frac{b}{4\sqrt{4}}+\frac{c}{5\sqrt{5}}$$

Por la desigualdad de Cauchy Scwartz tenemos

$$P \le \sqrt{3} \times \sqrt {\left(\frac{a^2}{3^3}+\frac{b^2}{4^3}+\frac{c^2}{5^3} \right)}$$

¿alguna manera de proceder aquí?

Answer 1

Para $\lambda = a+b+c$ , la desigualdad de Cauchy-Schwarz da $$\lambda^2 \leqslant (3^3 + 4^3+ 5^3)(\frac{a^2}{3^3} + \frac{b^2}{4^3} + \frac{c^2}{5^3})$$ y puede comprobar que $3^3+4^3+5^3=6^3$ .

Answer 2

Utilizando El lema de Titu (caso especial de inequidad CS): $$\frac{a^2}{3^3}+\frac{b^2}{4^3}+\frac{c^2}{5^3} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(3^3+4^3+5^3)}=\frac{(a+b+c)^2}{6^3} $$