Encontrar la probabilidad de que un producto interno es positivo

Question

Deje $x$ ser un vector fijo en $\mathbb{R}^n$. Deje $a=[a_1,\cdots,a_n]^T$ ser un azar vector cuyas entradas son variables aleatorias iid, dicen, $a_i \sim P$.

Me gustaría calcular $$ P(\langle a, x \rangle > 0) $$ Aquí está mi intento. Sin pérdida de generalidad, vamos a $x_1 > 0$. Entonces \begin{align*} P(\langle a, x \rangle > 0) = \int_\mathbb{R} \dots \int_{\mathbb{R}} \int_{a_1 > -\frac{\sum_{j=2}^na_jx_j}{x_1}} p(a_1)\cdots p(a_n)da_1\cdots da_n. \end{align*} Si $P$ es una distribución uniforme en $[-M,M]$, lo anterior se convierte en \begin{align*} P(\langle a, x \rangle > 0) &= \frac{1}{(2M)^n}\int_{-M}^M \dots \int_{-M}^M \int_{a_1 > -\frac{\sum_{j=2}^na_jx_j}{x_1}} da_1\cdots da_n \\ &=\frac{1}{(2M)^n}\int_{-M}^M \dots \int_{-M}^M \left(M + \frac{\sum_{j=2}^na_jx_j}{x_1}\right) da_2\cdots da_n \\ &= \frac{1}{2}. \end{align*} Si $a_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$, desde el $\langle a, x \rangle = \sum_{i=1}^na_ix_i \sim \mathcal{N}(0,\|x\|^2\sigma^2)$, uno puede fácilmente a la conclusión de $P(\langle a,x \rangle > 0) = 0.5$.

Pregunta ¿En qué clase de distribución de $P$, podemos obtener $$P(\langle a,x \rangle > 0) = 0.5?$$

Pensé que la distribución simétrica alrededor de 0 podría resultar en el resultado del mismo, sin embargo, es claro para mí.

Comentarios/respuestas será muy apreciada.

Answer 1

Respuesta parcial.

Para responder a su "pensé... es claro para mí", simétrica de las distribuciones que dan peso $0$ a $0$, es decir, una distribución $\mu$ a $\mathbb R$ con $\mu(0) = 0$, ciertamente. Por qué? Déjame entrar en detalles.

Tenga en cuenta que el mapa de $a \mapsto \langle a, x \rangle$ es simétrica en el sentido de que $\langle -a, x \rangle = - \langle a, x \rangle$. Si la distribución es simétrica, entonces $a$ e $-a$ tienen la misma distribución, y por lo tanto para hacer $\langle a, x \rangle$ e $\langle -a, x \rangle = - \langle a, x \rangle$. Por lo tanto $$ P( \langle a, x \rangle > 0 ) = P( -\langle a, x \rangle > 0 ) = P( \langle a, x \rangle < 0). $$ Ahora, suponiendo que $x$ no es la $0$-vector (ie $x_i = 0$ para todos los $i$), en cuyo caso la probabilidad es siempre $0$, tendremos a $\langle a,x \rangle > 0$ o $\langle a, x \rangle < 0$ para todos los $a$ que no son las $0$-vector. Ahora, hemos exigido que nuestra distribución no dar peso a $0$, y por lo $a_i \neq 0$ para todos los $i$, y ciertamente no es el caso que $a$ es el $0$-vector. Por lo tanto debemos tener $$ P( \langle a, x \rangle > 0 ) + P( \langle a, x \rangle < 0 ) = 1, $$ pero ya que los dos términos en el lado izquierdo son iguales, por el anterior deiplay, se debe tanto a la igualdad de $\tfrac12$, es decir, $$ P( \langle a, x \rangle > 0 ) = P( \langle a, x \rangle < 0 ) = \tfrac12. $$