Encuentre todas las funciones en $\mathbb{R}$ que satisface la ecuación dada $(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$ para todos $x,y$ en $\mathbb{R}$ .

Question

Encuentre todas las funciones en $\mathbb{R}$ que satisface la ecuación dada $(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$ para todos $x,y$ en $\mathbb{R}$ .

Intenté encontrar algo parecido a un patrón que se convirtiera en una constante. Si simplifico, obtengo $xf(x)-xf(x+y)-xf(y)=yf(y)-yf(x+y)-yf(x)$ ¿Qué debo hacer ahora? ¿Esto va a ayudar? Gracias.

Answer 1

Para $x,y\in\mathbb{R}$ , dejemos que $P(x,y)$ denotan la condición $$(x+y)\,\big(f(x)-f(y)\big)=(x-y)\,f(x+y)\,.$$ Desde $P(1,0)$ obtenemos $$f(1)-f(0)=f(1)\text{ so that }f(0)=0\,.$$ Con $P\left(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2}\right)$ obtenemos $$x\,\Biggl(f\left(\frac{x+y}{2}\right)-f\left(\frac{x-y}{2}\right)\Biggr)=y\,f(x)\,.\tag{*}$$ Esto demuestra que $$f\left(\frac{1+y}{2}\right)-f\left(\frac{1-y}{2}\right)=ay\,,$$ donde $a:=f(1)$ . Enchufar $2$ para $x$ y $y+1$ para $y$ en (*) da como resultado $$f\left(\frac{3+y}{2}\right)-f\left(\frac{1-y}{2}\right)=b\left(\frac{1+y}{2}\right)\,,$$ donde $b:=f(2)$ . Por lo tanto, al restar las dos ecuaciones anteriores obtenemos $$f\left(\frac{3+y}{2}\right)-f\left(\frac{1+y}{2}\right)=b\left(\frac{1+y}{2}\right)-ay$$ para todos $y\in\mathbb{R}$ . En otras palabras, $$f(t)-f(t-1)=b(t-1)-a(2t-3)=(b-2a)t+(3a-b)\,.\tag{#}$$

Ahora, miramos $P(x,x-1)$ . Esto da $$(2x-1)\,\big(f(x)-f(x-1)\big)=f(2x-1)\,.$$ Así, a partir de (#), obtenemos $$f(2x-1)=(2x-1)\,\big((b-2a)x+(3a-b)\big)\,.$$ Eso es, $$f(t)=t\,\Biggl((b-2a)\left(\frac{t+1}{2}\right)+(3a-b)\Biggr)=\frac{b-2a}{2}t^2+\frac{4a-b}{2}t$$ por cada $t\in\mathbb{R}$ . Es fácil comprobar que toda función cuadrática de la forma anterior satisface la ecuación funcional.

Answer 2

La ecuación de Cesaro requiere "diferenciable".

Una clase de soluciones es f(x) = ax