ecuaciones del operador no limitado

Question

$T$ es un operador cerrado densamente definido en $\mathcal{H}$ que es un Hilbert espacio. Demostrar que $\forall a,b\in H$ las ecuaciones \begin{equation} \label{eq:1} \left\{ \begin{aligned} -Tx+y &= a \\ x+T^{\star}y&=b \end{aligned} \ \Fin. tienen solución única $x\in D(T),y\in D(T^\star)$ . $T^\star$ es el operador adjunto de $T$ . $D(T)$ es el espacio donde $T$ se define.

He demostrado la unicidad. Y si $a\in D(T^\star),b\in D(T)$ puedo resolverlo simplemente tomando $T$ en la segunda ecuación y más la primera. Pero para $\forall a,b\in H$ Tengo algunos problemas. Cualquier idea será de ayuda, gracias.

Answer 1

Porque $T$ es cerrado y densamente definido, entonces también lo es $T^*$ . Además, $$ \langle Tx,y\rangle-\langle x,T^*y\rangle = 0,\;\; x\in\mathcal{D}(T),y\in\mathcal{D}(T^*), $$ que puede escribirse en términos de una condición de ortogonalidad sobre $\mathcal{H}\times\mathcal{H}$ : $$ \left\langle \left[\begin{array}{c}-Tx \\ x\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}y \\T^*y \end{array}\right]\right\rangle = 0, \;\;\;x\in\mathcal{D}(T)\;\; y\in\mathcal{D}(T^*). $$ Estos subespacios son complementos ortogonales entre sí, lo que da $$ X\times X = \left\{\left[\begin{array}{c}-Tx \\ x\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c}y \\T^*y \end{array}\right] : x\in\mathcal{D}(T),\;y\in\mathcal{D}(T^*)\right\}. $$ Por lo tanto, dado $a,b\in\mathcal{H}$ existe un único $x\in\mathcal{D}(T)$ y $y\in\mathcal{D}(T^*)$ tal que $$ \left[\begin{array}{c} -Tx \\ x \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} y\\ T^*y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right] $$