Wolfram dice $(\ln 2)^2$ es trascendental. Creo que dice números de la forma $(\ln a)^b$ son todos trascendentales, al menos para los enteros $a$ y $b$ No he comprobado más.
Tal vez haya algún corolario del teorema de Lindemann que diga algo sobre mi pregunta o poderes de $\log'$ s.
He buscado brevemente en google algo de bibliografía sobre la irracionalidad/trascendencia en las potencias de los logaritmos, ya sean artículos o foros, pero no he encontrado nada. Cualquier ayuda se agradecería.
Supongamos que $(\ln a)^b$ es algebraico. Existe un polinomio no nulo $p(x)\in\mathbb Q[x]$ tal que $p\left((\ln a)^b\right)=0$ . Dejemos que $q(x)=p(x^b)\in\mathbb Q[x]$ . Entonces, $q$ es distinto de cero y $q(\ln a)=0$ . Así que, $\ln a$ es algebraico.
Ahora bien, si $a$ es un número algebraico positivo además de $1$ entonces se deduce del teorema de Lindemann-Weierstrass que $\ln a$ es trascendental. Concluimos que $(\ln 2)^2$ es trascendental.
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Puedes olvidarte del exponente ya que la trascendencia es invariante bajo la toma de raíces integrales. La pregunta es si el logaritmo natural de un entero mayor o igual que $2$ es trascendental. Aquí se responde afirmativamente: math.stackexchange.com/questions/46497/