Wolfram dice (\ln 2)^2 es trascendental. Creo que dice números de la forma (\ln a)^b son todos trascendentales, al menos para los enteros a y b No he comprobado más.
Tal vez haya algún corolario del teorema de Lindemann que diga algo sobre mi pregunta o poderes de \log' s.
He buscado brevemente en google algo de bibliografía sobre la irracionalidad/trascendencia en las potencias de los logaritmos, ya sean artículos o foros, pero no he encontrado nada. Cualquier ayuda se agradecería.
Supongamos que (\ln a)^b es algebraico. Existe un polinomio no nulo p(x)\in\mathbb Q[x] tal que p\left((\ln a)^b\right)=0 . Dejemos que q(x)=p(x^b)\in\mathbb Q[x] . Entonces, q es distinto de cero y q(\ln a)=0 . Así que, \ln a es algebraico.
Ahora bien, si a es un número algebraico positivo además de 1 entonces se deduce del teorema de Lindemann-Weierstrass que \ln a es trascendental. Concluimos que (\ln 2)^2 es trascendental.
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Puedes olvidarte del exponente ya que la trascendencia es invariante bajo la toma de raíces integrales. La pregunta es si el logaritmo natural de un entero mayor o igual que 2 es trascendental. Aquí se responde afirmativamente: math.stackexchange.com/questions/46497/