Encuentre los valores de $p$ y $q$

Question

Si $p^3+p=q^2+q$ donde $p$ y $q$ son números primos, Encuentra todas las soluciones (p, q)

Traté de resolver este ejercicio usando eso:

$p^2 = -1(\text{mod} \, q)$ y $q = -1(\text{mod} \, p)$ ; Así que: $q+1=ap$ y $p^2+1=bq$ , donde $b$ y $q$ enteros.

Luego intenté resolver una ecuación cuadrática, pero no pude terminar el problema

Answer 1

$$p^3+p=q^2+q \implies p|q^2+q \implies p|q\ \mathrm{or}\ p|(q+1).$$

Obviamente, $p\neq q$ Así que $p\nmid q$ . Así, podemos establecer $q=kp-1$ . Esto se reduce a

$$p^2-k^2p+(k+1)=0,$$

que tiene una solución entera si $k^4-4k-4$ es un cuadrado. ¿Se puede ver por qué no es el caso de los grandes $k$ y determinar las soluciones a partir de ahí?

Answer 2

Claramente $p\neq q$ y porque $p$ y $q$ son primos y $$p(p^2+1)=p^3+p=q^2+q=q(q+1),$$ debemos tener $p\mid q+1$ y $q\mid p^2+1$ . Escriba $$q+1=ap\qquad\text{ and }\qquad p^2+1=bq,$$ para encontrar que $p^2-abp+b+1=0$ . En particular $b+1\equiv0\pmod{p}$ , digamos que $b=cp-1$ pero luego $$p^2+1=(cp-1)q=(cp-1)(ap-1)=acp^2-(a+c)p+1.$$ Tenga en cuenta que $a$ , $b$ y $c$ son enteros positivos, y que $a>1$ como de lo contrario $p=q+1$ lo que implica que $(p,q)=(3,2)$ que no es una solución. La ecuación anterior se simplifica en $$(ac-1)p=a+c,$$ y como $p\geq2$ claramente no podemos tener $a,c\geq2$ . Por lo tanto, $c=1$ y así $$p^2+1=bq=(cp-1)q=(p-1)q.$$ En particular $p-1\mid p^2+1$ . Como $p-1\mid p^2-1$ se deduce que $p-1=2$ Así que $p=3$ y por lo tanto $q=5$ .

Answer 3

Una pista: Desde $p$ divide $p^3+p$ También $p$ divide $q(q+1)$ Por lo tanto $p$ o bien divide $q$ o $p$ divide $q+1$ porque $p$ es primordial. ¿Puedes terminarlo?

Answer 4

Recuerde que si $a,b$ son enteros positivos tales que $a\mid b$ entonces $a\leq b$ . Voy a utilizar esto frekvently aquí.

Desde $$p(p^2+1)= q(q+1)\implies p\mid q\;\;\;{\rm or}\;\;\;p\mid q+1$$

1. caso $p\mid q$ entonces $q+1\mid p^2+1$ . Escriba $q+1=s$ entonces obtenemos $$ps\mid (p^2+1)(s-1) = p^2s-p^2+s-1\implies ps\mid p^2-s+1$$

Desde $p^2+1\geq s$ tenemos 2 subcasos:

1.1 caso $p^2+1>s$ entonces $ps\leq p^2-s+1$ así que $s(p+1)\leq p^2+1$ y por lo tanto $$s\leq {p^2+1\over p+1} <p\implies s\leq p-1$$

Así que $q+1\leq p-1 \leq q-1$ y por lo tanto no hay solución.

1.2 caso $p^2+1=s$ entonces $q^2+1 = q+1$ y de nuevo ninguna solución.

2. caso $p\mid q+1$ entonces $q\mid p^2+1$ . Entonces obtenemos $$pq\mid (p^2+1)(q+1) = p^2q+p^2+q+1\implies pq\mid p^2+q+1$$

por lo que tenemos $pq\leq p^2+q+1$ así que $q \leq {p^2+1\over p-1} \leq p+2$ si $p\geq 3$ . Así que si $p\geq 3$ y como $p\mid q$ que $q\in \{p,p+1,p+2\}$ que es fácil de terminar a mano.