Alguien me puede ayudar termine esto: evaluar $S_n = \frac{x}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^4}+ ... + \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^{n}}}$

Question

Me pide encontrar la solución de forma cerrada para la siguiente.

<span class="math-container">$$S_n = \frac{x}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^4}+ ... + \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^{n}}}$$</span>

Sólo escribir la <span class="math-container">$S_1, S_2, S_3$</span>, que he podido encontrar un patrón, que es:

<span class="math-container">$$Sn = \frac{S{n-1}}{1-x^{2^n}} + \frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}$$</span>

No estoy seguro de cómo proceder en adelante para resolver a esta relación de recurrencia. ¿Hay un truco inteligente que puedo hacer para solucionarlo?

Answer 1

$$ \begin{align} \frac{x}{1-x}-S_n &= \\ &= \frac{x}{1-x}-\frac{x}{1-x^2}-\frac{x^2}{1-x^4}- \ldots - \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^{n}}} \\ &=\frac{x^2}{1-x^2}-\frac{x^2}{1-x^4}- \ldots - \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^{n}}} \\ &=\ldots \\ &=\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^{n-1}}}- \frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^{n}}} \\ &=\frac{x^{2^{n}}}{1-x^{2^{n}}}. \end {align} $$

Entonces, $$S_n= \frac{x}{1-x}-\frac{x^{2^{n}}}{1-x^{2^{n}}}.$ $

Answer 2

Reconocer la serie geométrica y reemplazarlo:

$$\frac{x}{1-x^2}=x+x^3+x^5+x^7+\cdots$$ Para todos los demás, es el mismo, simplemente reemplace $x\to x^2,x^4,\ldots x^{2^n}$.

Ahora, note que las nuevas condiciones son sólo de relleno en los términos faltantes:

$$S_2=x+x^2+x^3+\Box+x^5+x^6+x^7+\Box+x^9+\cdots$$ $$S_3=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+\Box+x^9+\cdots+x^{15}+\Box+x^{17}\cdots$$

A partir de esto, es fácil ver que el límite de esta secuencia es sólo la completa serie geométrica sin perder términos: $S_{\infty}=\frac{x}{1-x}$. Si usted se detiene en plazo $S_n$, le faltan todos los poderes de $x^{2^n}$ (por ejemplo, $S_3$ falta $x^8$, $x^{16}$ y así sucesivamente), y los términos faltantes son simplemente la serie geométrica con a$x^8$ ($x^{2^n}$ en general) en lugar de $x$. Esto hace que sea fácil escribir así:

$$S_{n}=S_{\infty}(x)-S_{\infty}(x^{2^n})=\frac{x}{1-x}-\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^n}}$$

Answer 3

Sólo una especie de resumen.

Tenemos
\begin{align*} S_n&=\sum_{j=1}^n\frac{x^{2^{j-1}}}{1-x^{2^{j}}}\\ &=\sum_{j=1}^n\left(\frac{x^{2^{j-1}}}{1-x^{2^{j-1}}}-\frac{x^{2^j}}{1-x^{2^j}}\right)\tag{1}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{x}{1-x}-\frac{x^{2^{n}}}{1-x^{2^{n}}}}\tag{2} \end{align*}

Comentario:

• En (1) usamos la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ con $a=1$ y $b=x^{2^{j-1}}$ .

• En (2) aplicamos la serie telescópica.