Inverso del teorema de Bolzano-Weierstrass

Question

El teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que toda secuencia acotada tiene un punto límite. Pero, lo contrario no es cierto.

Es decir, hay algunas secuencias no limitadas que tienen un punto límite. En el libro de mi curso, encontré un ejemplo para esta afirmación, pero no tiene sentido.

Este es el ejemplo que se da en el libro: El conjunto: {1, 2, 1, 4, 1, 6, ...} es ilimitado, pero tiene un punto límite de 1 . No puedo entender cómo este conjunto tiene un punto límite como 1 . Según la definición del libro de punto límite, 'x' es el punto límite de una secuencia, si cada vecindad de 'x' tiene infinitos elementos de la secuencia. Si lo aplico aquí, entonces sólo obtengo el infinito como punto límite. ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Parece que hay una confusión entre conjuntos y secuencias. En este ejemplo, lo que has escrito como "{1, 2, 1, 4, 1, 6, ...}" no pretende ser una set sino una secuencia $(a_n)$ con $a_0=1,a_1=2,a_2=1,a_3=4,\dots$ .

En particular, entonces, cuando decimos que un punto $x$ es un punto límite de $(a_n)$ esto significa que para cada barrio $U$ de $x$ existe un número infinito de $n\in\mathbb{N}$ tal que $a_n\in U$ . Lo hace no significa que hay infinitas diferentes números de la secuencia que están en $U$ ya que estos valores de $a_n$ para diferentes $n$ podría ser el mismo. Así que en este caso, ya que cada barrio de $1$ contiene $1$ contiene $a_0,a_2,a_4,\dots$ y así $1$ es un punto límite de la secuencia.

(Por el contrario, $1$ es no un punto límite de la set $\{1, 2, 1, 4, 1, 6, \dots\}=\{1, 2, 4, 6, \dots\}$ porque $(0,2)$ es una vecindad de $1$ que contiene sólo un elemento de este conjunto, a saber $1$ .)

Answer 2

Tenemos

$$a_n = \begin{cases} 1, & n \text{ is odd} \\ n, & n \text{ is even}\end{cases}$$

$1$ aparece con una frecuencia infinita. Por lo tanto hay una subsecuencia que siempre toma valor $1$ . Esa subsecuencia converge a $1$ . Por lo tanto, $1$ es un límite a la subsecuencia.