En la integral$\int_0^\pi\sin(x+\sin(x+\sin(x+\cdots)))\,dx$

Question

Esta pregunta vino a mi cabeza cuando hice un curso en serie de Fourier. Sin embargo, esto no es una infinita suma de los senos, sino una infinita repetición de los senos en una suma.

Considere la posibilidad de $f_1(x)=\sin(x)$ e $f_2(x)=\sin(x+f_1(x))$ tal que $f_n$ satisface la relación $$f_n(x)=\sin(x+f_{n-1}(x)).$$ To what value does $$L:=\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi f_n(x)\,dx$$ convergen?

Ya que es imposible evaluar las integrales directamente, empezaremos considerando el primer par de valores de $n$. Un patrón claramente emerge. $$I_1=\int_0^\pi f_1(x)\,dx=2\quad\quad\quad I_2=1.376527...\\I_3=2.188188...\quad\quad\quad\quad\quad I_4=1.625516...\\ I_5=2.179090...\quad\quad\quad\quad\quad I_6=1.732942...\\ I_7=2.155900...\quad\quad\quad\quad\quad I_8=1.927035...$$

Para valores impares de $n$, $I_n$ disminuye monótonamente (excepto $n=1$) y para los valores de $n$, $I_n$ aumenta monótonamente. Estas dos observaciones me han llevado a la afirmación de que $L=I_1=2$.

Es posible demostrar/refutar esta afirmación?

Answer 1

Esquema:

• Uso de la función inversa de la $y=x-\sin x$ a expresar $f_\infty(x)$.

• El uso integral de funciones inversas y el teorema de convergencia dominada para demostrar $L=2$.

Reclamo:$$L=2.$$

Prueba: Obviamente $y=t-\sin t$ es inyectiva en a$t\in[0,\pi]$.

Definir $y=\operatorname{Sa}(t)$ como la función inversa de la $y=t-\sin t$ a $t\in[0,\pi]$. Por lo tanto, $$t-\sin t =x \implies t=\operatorname{Sa}(x).$$

Suponga $f_\infty(x)$ existe (ver 1. la primera integral), entonces tenemos \begin{align*} f_\infty&=\sin(x+f_\infty)\\ \underbrace{(x+f_\infty)}_{t}-\sin\underbrace{(x+f_\infty)}_{t}&=x\\ x+f_\infty&=\operatorname{Sa}(x)\\ f_\infty(x)&=-x+\operatorname{Sa}(x). \end{align*}

Desde $0-\sin 0 =0\implies \operatorname{Sa}(0)=0$ e $\pi-\sin \pi =\pi\implies \operatorname{Sa}(\pi)=\pi$, \begin{align*} \int_0^\pi f_\infty(x)\,\mathrm dx&=\int_0^\pi -x+\operatorname{Sa}(x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^\pi -x\,\mathrm dx+\int_0^\pi \operatorname{Sa}(x)\,\mathrm dx\\ &=-\frac{\pi^2}2+\left(\pi \operatorname{Sa}(\pi)-0 \operatorname{Sa}(0)-\int_{\operatorname{Sa}(0)}^{\operatorname{Sa}(\pi)}y-\sin y\,\mathrm dy\right)\\ &=-\frac{\pi^2}2+\left(\pi^2-\int_0^\pi y-\sin y\,\mathrm dy\right)\\ &=-\frac{\pi^2}2+\left(\pi^2-\left[\frac{y^2}2+\cos y\right]^\pi_0\right)\\ &=2. \end{align*}

Aquí hemos utilizado la integral de funciones inversas: $$\int_c^df^{-1}(y)\,\mathrm dy+\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=bd-ac.$$

Nota: Desde $|f_n(x)|\le 1$ e $1$ es integrable en a$[0,\pi]$, podríamos intercambio límite de signo y el signo integral del teorema de convergencia dominada, es decir, $$L:=\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi f_n(x)\,\mathrm dx=\int_0^\pi \lim_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm dx=\int_0^\pi f_\infty(x)\,\mathrm dx=2.$$