$\mathbb{Z}$ vs $\hat{\mathbb{Z}}$ coefficents en Singular Cohomology

Question

Deje $X$ ser un número finito de CW complejo, dadas las singulares cohomology con coefficents en $\hat{\mathbb{Z}}$, $H^i(X, \hat{\mathbb{Z}})$ puede recuperar singular cohomology con coefficents en $\mathbb{Z}$?

Me dijeron que uno no puede hacer esto.

Sin embargo, parece ser cierto. La singular cohomology grupos finitely generado abelian grupos.

1.) Podemos recuperar el rango de cada uno de ellos, porque en nuestro caso $H^i(X, \hat{\mathbb{Z}}) \cong H^i(X, \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \hat{\mathbb{Z}}$.

2.) Por lo tanto, la cuestión es recuperar la torsión. Sin embargo, para cada entero $m$, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \hat{\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ como $\mathbb{Z}$-módulos.

$\textbf{Question: }$ Estoy cometiendo un terrible error en alguna parte? Más en general, parece que la misma trivial prueba anterior muestra que para cualquier CW complejo con finitely generado cohomology grupos, uno puede fácilmente recuperar cohomology con $\mathbb{Z}$ coefficents de $\hat{\mathbb{Z}}$-coefficents.

Realmente me gustaría ver una prueba o un contraejemplo.

Answer 1

Estás en lo correcto. Desde $\hat{\mathbb{Z}}$ es plano sobre a $\mathbb{Z}$ natural, de las map $H^i(X,\mathbb{Z}) \otimes \hat{\mathbb{Z}} \longrightarrow H^i(X,\hat{\mathbb{Z}})$ es un isomophism (de $\hat{\mathbb{Z}}$-módulos).

Si $M = \mathbb{Z}^r \oplus M_{t}$ es un finitely generado grupo (donde $M_t$ es la torsión del subgrupo), a continuación, $\hat{M} := M \otimes \hat{\mathbb{Z}} \cong \hat{\mathbb{Z}}^r \oplus M_t$ (debido a $M_t \otimes \hat{\mathbb{Z}} = M_t$). La torsión de los subgrupos de $\hat{M}$ $\mathbb{Z}$- módulo (NO como $\hat{\mathbb{Z}}$- "módulo")$M_t$. El rango puede ser recuperado de la siguiente manera : vamos a $p$ ser cualquier primer y denotan $\hat{M}_p$ un pro-$p$-Sylow de $M \otimes \hat{\mathbb{Z}}$ (es un pro-$p$-subgrupo con cociente de 'profinite el fin de' prime a $p$), $r$ es el rango de $\hat{M}_p$ $\mathbb{Z}_p$-módulo (el rango es bien definidos para los módulos a través de PID).