Las secuencias que son de Cauchy para cada compatibles métrica en $X$ son exactamente (topológicamente) secuencias convergentes. Cada secuencia convergente es fácilmente visible a ser de Cauchy para cada compatibles métrica, por lo que estamos preguntando acerca a la inversa.
Así que vamos a $(x_n)$ ser una secuencia en un espacio metrizable $X$ que es no convergente. Elegir una métrica $\delta$ a $X$. Si $(x_n)$ no $\delta$-Cauchy, hemos terminado.
De lo contrario, si $(x_n)$ es $\delta$-Cauchy, vamos a $\overline{X}$ ser la finalización de $X$ con respecto al $\delta$. Ahora $(x_n)$ converge a un único punto límite $x\in \overline{X}$, e $\overline{X}$ es completamente metrizable. Deje $Y = \overline{X}\setminus \{x\}$. Tenemos $X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$, e $Y$ es un subconjunto abierto de $\overline{X}$. Es un teorema que un subespacio de un espacio metrizable es completamente metrizable si y sólo si es $G_\delta$. En particular, existe una compatibilidad completa de métricas de $\delta'$ a $Y$. Pero $(x_n)$ no es convergente en $Y$, por lo que no es $\delta'$-Cauchy. La restricción de $\delta'$ a $X$ es compatible medida en que $(x_n)$ no es de Cauchy.
Ser un lógico, la primera referencia que puede apuntar a por el teorema acerca de $G_\delta$ subespacios es Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos por Kechris, Teorema I(3.11). Pero en el caso de la eliminación de un solo punto de $y$, no es difícil escribir un explícito $\delta'$ que trabaja: $$\delta'(a,b) = \delta(a,b)+\left|\frac{1}{\delta(a,y)} - \frac{1}{\delta(b,y)}\right|.$$
