¿Aplicé correctamente el teorema de convergencia dominado por Lebesgue?

Question

Concentrémonos en$$\int_0^\pi e^{iRe^{i\theta}} i d\theta$ $

• Si$R \to \infty$, este entero converge puntualmente a$0$; además, el módulo de la función es$= e^{-R\sin\theta} \le e^{-\sin\theta}$$\in L^1([0, \pi])$ por lo que está dominado y aplicando lebesgue encuentro$$\lim_{R \to \infty} \int_0^\pi e^{iRe^{i\theta}} i d\theta = 0$ $

• Si es$R \to 0$, el integrando converge puntualmente a$i$, y aún está dominado por$e^{-\sin\theta}$, por lo que al aplicar lebesgue, encuentro$$\lim_{R \to 0} \int_0^\pi e^{iRe^{i\theta}} i d\theta = \int_0^\pi i d\theta = \pi i$ $

¿Todo esto correcto? No estoy seguro si usé el teorema de convergencia dominado correctamente.

Answer 1

Vale la pena calcular explícitamente el límite superior.

Tienes$| e^{iRe^{i\theta}} | = e^{-R \sin \theta}$, y si$\theta \in [0,\pi]$, vemos que$e^{-R \sin \theta} \le 1$ para todos$R \ge 0$. Dado que$\theta \mapsto 1$ es integrable en$[0,\pi]$, puede aplicar el teorema de convergencia dominado.