Permítanme en primer lugar responder a su segunda pregunta : $f'(\infty)$ se define de la siguiente manera :
$$f'(\infty):=\lim_{z \rightarrow \infty} z(f(z)-f(\infty)).$$
De hecho, es igual al coeficiente de $1/z$ en el Laurent expansión de $f$ cerca de $\infty$.
Respecto a tu primera pregunta, capacidad analítica fue introducido por primera vez por Ahlfors en la década de 1940 para el estudio de un problema de Painlevé sobre la búsqueda de un "geométrica" caracterización de los extraíble compacto subconjuntos del plano. Deje $K$ ser un conjunto compacto en el plano. Decimos que $K$ es extraíble (para delimitada holomorphic funciones) si cada función de holomorphic y limitada fuera de $K$ es constante. Por ejemplo, cada punto es extraíble, por Riemann clásica del teorema extraíbles singularidades de holomorphic funciones. Por el mismo argumento, todo conjunto finito es extraíble, y, de hecho, se puede demostrar que cada contables conjunto compacto es extraíble. Además, cada extraíble conjunto compacto es totalmente desconectada, y, en particular, ha vacío interior y conectado complemento. Sin embargo, no son extraíbles totalmente desconectado compacto conjuntos : un ejemplo fácil es un Cantor subconjunto de la recta real de positivo de la medida de Lebesgue.
La relación entre la capacidad de eliminación de conjuntos compactos y capacidad analítica es la siguiente :
No es difícil demostrar que un conjunto compacto $K$ es extraíble si y sólo si su capacidad analítica es cero. Por lo tanto Painlevé del problema se trata de encontrar un geomtric caracterización de los conjuntos compactos de cero capacidad analítica. Este problema resultó ser muy difícil, pero ahora se considera resuelto (se tardó más de un centenar de años para resolverlo...). Para una encuesta de Painlevé del problema, véase el muy agradable encuesta realizada por Xavier Tolsa (1).
También recomiendo el libro por Garnett (2) y el libro de Dudziak (3). Capacidad analítica resultó ser una herramienta central en la teoría de aproximación uniforme de holomorphic funciones (esto fue descubierto por Vitushkin en la década de 1960). Si usted está interesado en las aplicaciones de la capacidad analítica para este tipo de problemas, te recomiendo el libro por Zalcman (4).
Si usted tiene más preguntas, no dude en preguntar. Actualmente estoy terminando una Tesis doctoral sobre la capacidad analítica... capacidad Analítica es una muy interesante (y bastante difícil en mi opinión) tema de investigación, y hay un montón de problemas abiertos.
Espero que esto ayude,
Malik
Referencias :
(1) Painlevé del problema y la capacidad analítica. X. Tolsa
(2) capacidad Analítica y de medida. J. Garnett
(3) Vitushkin de la conjetura para extraíbles conjuntos. J. Dudziak
(4) capacidad Analítica y racional de la aproximación. L. Zalcman
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Para un estudio de los resultados relacionados con la capacidad analítica, también le sugiero que eche un vistazo a nuestro artículo http://arxiv.org/abs/1209.3326
Véase especialmente la Sección II sobre los preliminares de capacidad analítica.
