(Actualización. Añadido un sistema autónomo de la prueba de que en virtud de ZF+DC+BP no hay ninguna norma.)
Martín-Blas Pérez Pinilla está a la derecha de la pista. Usted no puede incluso poner una norma en $C(\mathbb{R})$ sin usar el axioma de elección de una forma esencial. Dependiente de opción no es suficiente.
La reclamación. Esto es consistente con ZF+DC que no existe ninguna norma en $C(\mathbb{R})$.
Recordemos que un subconjunto $E$ a de un espacio topológico se dice que tiene la propiedad de Baire si puede ser escrito como una diferencia simétrica $E = U \triangle M$ donde $U$ es abierto y $M$ es escasa (una contables de la unión de la nada densos conjuntos).
Un célebre teorema de Sela, dice que, de conformidad con ZF+DC es la declaración de BP: "Cada subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene la propiedad de Baire." A partir de BP de ello se desprende que, de hecho, cada subconjunto de cualquier polaco espacio tiene la propiedad de Baire.
Deje $\tau$ será el habitual de la topología en $C(\mathbb{R})$ (convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos). Es inducida por una traducción-invariantes métricos:
$$d(f,g) := \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \min\left(1, \sup_{[-n,n]} |f-g|\right) $$
La métrica $d$ es completa (esto viene del hecho de que un límite uniforme de funciones continuas es continua). Y no es difícil ver que $\tau$ es separable (los polinomios con coeficientes racionales se $\tau$-denso, por la aproximación de Weierstrass teorema). Por lo $(C(\mathbb{R}),\tau)$ es un espacio polaco.
Supongamos ahora que $\|\cdot\|$ es una norma en $C(\mathbb{R})$. Deje $B$ ser la unidad cerrada $\|\cdot\|$-ball. Vamos a mostrar que el $B$ no tiene la propiedad de Baire con respecto a $\tau$. Específicamente, deje $U$ cualquier $\tau$-conjunto abierto; vamos a mostrar que el $B \triangle U$ $\tau$- nonmeager.
Supongamos primero que $U = \emptyset$, de modo que $B \triangle U = B$. Desde $\bigcup_{n=1}^\infty nB = C(\mathbb{R})$, por la categoría de Baire teorema de la $B$ $\tau$- nonmeager.
Ahora supongamos que $U$ es no vacío. Vamos a mostrar a $U \setminus B$ $\tau$- nonmeager. Comencemos por mostrar a $U \setminus B$ es no vacío. Deje $f \in U$ y deje $g \in C(\mathbb{R})$ ser su favorito distinto de cero función continua que se apoya en el $[0,1]$. Deje $g_n(x) = g(x-n)$ se traduce de $g$. Para cada una de las $n$, vamos a $a_n$ ser un número real lo suficientemente grande que $\|f + a_n g_n\| > 1$, por lo que el $f + a_n g_n \notin B$. A continuación, $a_n g_n \to 0$ uniformemente en compactos de conjuntos (es decir, en la $\tau$ topología), por lo $N$ tenemos $h := f + a_N g_N \in U$. Por lo tanto $h \in U \setminus B$. (A decir esto de otra manera, cada vacía $\tau$-conjunto abierto es ilimitado, sino $B$ es acotado, por lo $U$ no puede ser un subconjunto de a $B$.)
Ahora para cualquier $u \in C(\mathbb{R})$, $h + \frac{1}{n} u \to h$ $\tau$ $\|\cdot\|$ topologías. Así que para suficientemente grande $n$, $h + \frac{1}{n} u \in U$ $h + \frac{1}{n} u \in B^c$ (desde $B$ $\|\cdot\|$- cerrado). Es decir, $u \in n((U \setminus B)-h)$. Desde $u$ fue arbitraria hemos mostrado $\bigcup_{n=1}^\infty n((U \setminus B)-h) = C(\mathbb{R})$. Por la categoría de Baire teorema de la, $U \setminus B$ $\tau$- nonmeager, por lo tanto también lo es $B \triangle U$.
Así hemos demostrado que si $C(\mathbb{R})$ tiene una norma, entonces es un conjunto que carece de la propiedad de Baire con respecto a $\tau$. En virtud de ZF+DC+BP no existe tal conjunto y, por tanto, ninguna norma.
(Crédito donde el crédito es debido: Esta prueba se basa libremente en la idea de la prueba de la Garnir-Wright cerrado gráfico teorema de Teorema de 27.45 de Eric Schechter del Manual de Análisis y de sus Fundamentos.)
Por cierto, la única propiedad del espacio vectorial $C(\mathbb{R})$ que hemos utilizado es el que se admite un polaco de la topología en la que cada conjunto abierto no vacío es ilimitado. Por lo que el mismo argumento se podría aplicar a otros espacios vectoriales con esta propiedad, tales como $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, $C^\infty(\mathbb{R}^d)$, etc.
