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Question

Tengo una pregunta sobre la tarea del Álgebra de Artin que pregunta

Es $i \in \mathbb{Q}[\sqrt[4]{-2}]$?

Sospecho que esto no es cierto porque$i \sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\sqrt[4]{-2}]$ y$\sqrt{2}$ por supuesto no es racional, pero me está costando probarlo. Quizás podría considerar$\mathbb{Q}[\sqrt[4]{-2}] = \mathbb{Q}[x] / (x^4 + 2)$. Ahora, si$i \in \mathbb{Q}[\sqrt[4]{-2}]$, entonces$\mathbb{Q}[i] = \mathbb{Q}[x] / (x^2 + 1) \leq \mathbb{Q}[x] / (x^4 + 2)$ y$x^2 + 1 \mid x^4 + 2$, ¿una contradicción? Tengo la sensación de que esto no está bien, pero estoy atascado. Además, no hemos cubierto ninguna teoría de Galois. ¡Cualquier pensamiento sería apreciado!

Answer 1

Tenga en cuenta que$\sqrt[4]{-2}$ es una raíz de$x^4+2$ y que, según el criterio de Eisenstein, es irreductible sobre$\mathbb Q$.

Y entonces

$[\mathbb Q(\sqrt[4]{-2}):\mathbb Q]=4$ $$$x_1=\sqrt[4]{2}\ \operatorname{cis}(\pi/4)$ $$$x_2=\sqrt[4]{2}\ \operatorname{cis}(3\pi/4)$ $$$x_3=\sqrt[4]{2}\ \operatorname{cis}(5\pi/4)$$$x_4=\sqrt[4]{2}\ \operatorname{cis}(7\pi/4)$ x_ {k +1} / x_k = i$ are all roots. Notice that $ i \ in \ mathbb Q ( \ sqrt [4] {- 2})$ so if $ \ mathbb {Q} (\ sqrt [4] {- 2}) = \ mathbb {Q} (\ sqrt [4] {2}, i) $ .

Pero claramente$ then it must includes all other roots as well and under this assuption you can say that $ que es una contradicción.

Answer 2

Insinuación

Deje que$\omega = \sqrt[4]{-2}$, luego$\mathbb{Q}(\omega)$ es el grado 4 sobre$\mathbb{Q}$, y como espacio vectorial tiene la base$\{1,\omega,\omega^2,\omega^3\}$. Para mostrar que$i$ no está en$\mathbb{Q}(\omega)$, solo se necesita mostrar que$\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,i\}$ es linealmente independiente sobre$\mathbb{Q}$. Escríbalos explícitamente, entonces debería ser fácil de ver.