¿Por qué el conjunto vacío y el conjunto de todos los números reales son abiertos y cerrados?

Question

Lo siento, no tengo claras estas preguntas.

1. ¿por qué un conjunto vacío es tanto abierto como cerrado?

2. ¿por qué el conjunto de todos los números reales es abierto y cerrado?

Answer 1

Por definición, un conjunto $A$ de los números reales está abierta cuando se cumple la siguiente condición:

( Nótese que esto se aplica igualmente al conjunto de los números reales, sólo hay que sustituir $A = R$ . )

$$ \hbox{$ \para todo x\ en A, \exists\epsilon>0 $ such that $ (x-\epsilon,x+\epsilon)\Nsubconjunto A $.} $$

Según la definición anterior, el conjunto de todos los $x$ no es otro que el conjunto $A$ mismo, y $A$ ya está definida anteriormente para ser abierta.

En cuanto a por qué un conjunto vacío también está abierto, es un asunto bastante complicado Y DEFINITIVAMENTE NO ESTÁ CLARO por qué es así como mucha gente parece decir. En primer lugar, se define y no se concluye a partir de un razonamiento lógico. La razón por la que queremos que un conjunto vacío sea abierto es:

1. Queremos mantener que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

2. Queremos mantener un teorema que diga que la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Ahora observa que la definición de conjunto abierto es lo mismo que decir que es la unión de todos los conjuntos de todas las bolas abiertas del conjunto. Como queremos mantener que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto ( razón número 1 ), tenemos que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos de esas bolas abiertas, por lo que el conjunto vacío es un subconjunto de un conjunto abierto. Como también queremos que el teorema mencionado en la razón número 2 sea cierto, no hay otra forma que definir un conjunto vacío como un conjunto abierto.

Para la última parte de la pregunta de por qué el conjunto $A$ y el conjunto vacío son también cercanos es recordar que la definición de conjunto cercano es:

$$ \hbox{If $ B \Nsubconjunto A $, then $ A \N -setminus B $ is close $ | B $ is open.} $$

Si ponemos $B = A$ entonces tenemos $\emptyset = A \setminus A$ en el que por la definición anterior está cerca porque $B = A$ está abierto. Si ponemos $B = \emptyset$ entonces tenemos $A = A \setminus \emptyset$ que está cerca porque $B = \emptyset$ está abierto.